Свойства степеней: формулировки, доказательства, примеры, формулы степеней

Основные свойства степеней с одинаковыми и разными основаниями. Действия и операции со степенями, правила работы с ними.

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

(am)n = amn

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

а = 3

m = 1/6

n = 6

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

mn = (1/6)•6 = 1

Подставляем эти значения:

(31/6)6 = 31/6•6 = 31 = 3

Получили, что

(31/6)6 = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

1gfhdh

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

2gdfh

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а1/n)n = a1/n•n = a

Значит, по определению корня n-ой степени

3gdfg

4gfhj

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень аm/n? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:

m/n = (1/n)•m

C учетом этого выполним преобразование:

5hgfhf

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

6hfgj

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

7hfgh

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

8hgfgh

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

9hgfh

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

10hdgh

Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 810,25. По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 810,25 можно так:

11gfdg

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

12fdgf

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

13hjui

Свойства степени с рациональным показателем

Пусть (a) и (b) – некоторые положительные числа, а числа (m) и (n) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:

$$ 1. ;a^m*a^n=a^{m+n}. $$

При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени складываются.

$$2. ; a^m:a^n=a^{m-n}.$$

При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели степени вычитаются.

$$3. ; (a^m)^n=a^{m*n}.$$

При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.

$$4. ; (a*b)^n=a^n*b^n.$$

Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.

$$ 5.; (frac{a}{b})^n=frac{a^n}{b^n}.$$

Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.

Пусть опять есть некоторое положительное число (a>1) и рациональные числа (n) и (m).

$$6.;$$

При (n gt 0) (a^n gt 1),

При (n lt 0) (0 lt a^n lt 1).

$$7.$$

Если же (a gt 1) и (n gt m), то

$$ a^n>a^m.$$

Если ( 0 lt a lt 1 ) и (n gt m), то

$$ a^n lt a^m.$$

Разберем несколько примеров:

Пример 3

$$ 3^{-frac{3}{4}}*3^{-frac{1}{4}}=3^{-frac{3}{4}-frac{1}{4}}=3^{-1}=frac{1}{3};$$$$ 2^{frac{1}{2}}:2^{frac{1}{4}}=2^{frac{1}{2}-frac{1}{4}}=2^{frac{1}{4}}=sqrt[4]{3};$$$$ (5^{-frac{1}{2}})^{-4}=5^{(-frac{1}{2})*(-4)}=5^2=25; $$$$ (0,125)^{-frac{2}{3}}*8^{-frac{2}{3}}=(0,125*8)^{-frac{2}{3}}=1^{-frac{2}{3}}=1; $$$$ (4,4)^{frac{1}{3}}:(0,55)^{frac{1}{3}}=(frac{4,4}{0,55})^{frac{1}{3}}=8^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{8}=2;$$$$ 3^{frac{1}{3}} lt 3^{frac{1}{2}},$$

Так как основание степени больше единицы (3 gt 1) и (frac{1}{3} lt frac{1}{2}).

$$ (frac{1}{5})^{frac{1}{3}} gt (frac{1}{5})^{frac{1}{2}}, $$

Так как (0 lt frac{1}{5} lt 1) и (frac{1}{3} lt frac{1}{2})

Свойства степени с натуральным показателем

Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n-ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:

Определение 1

1. Главное свойство степени: am·an=am+n

Можно обобщить до: an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: am_an=am−n 

3. Свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn

Равенство можно расширить до: (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn 

4. Свойство частного в натуральной степени: (a:b)n=an:bn 

5. Возводим степень в степень: (am)n=am·n,

Можно обобщить до:(((an1)n2)…)nk=an1·n2·…·nk

6. Сравниваем степень с нулем:

  • если a>0, то при любом натуральном n, an будет больше нуля;
  • при a, равном 0, an также будет равна нулю;
  • при a<0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2·m, a2·m будет больше нуля;
  • при a <0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2·m−1, a2·m−1 будет меньше нуля.

7. Равенство an<bn будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Неравенство am>an будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы.

В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: am·an=am+n – то же самое, что и am+n=am·an. В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.

Далее мы разберем каждое свойство подробно и попробуем привести доказательства.

1. Начнем с основного свойства степени: равенство am·an=am+n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a. Как доказать это утверждение?

Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:

Свойства степени с натуральным показателем

Это можно сократить до Свойства степени с натуральным показателем (вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m+n. Таким образом, am+n, значит, основное свойство степени доказано.

Разберем конкретный пример, подтверждающий это.

Пример 1

Итак, у нас есть две степени с основанием 2. Их натуральные показатели – 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 22·23=22+3=25 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.

Выполним необходимые математические действия: 22·23=(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 25=2·2·2·2·2=32

В итоге у нас вышло: 22·23=25. Свойство доказано.

В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n1, n2 и др. буквой k, мы получим верное равенство:

an1·an2·…·ank=an1+n2+…+nk.

Пример 2

Пример с конкретными числами (легко посчитать самостоятельно): (2,1)3·(2,1)3·(2,1)4·(2,1)7=(2,1)3+3+4+7=(2,1)17.

2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство am_an=am−n, которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n) ) и любом отличном от нуля действительном a.

Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0n=0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n, нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m, мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.

Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:

am−n·an=a(m−n)+n=am

Из него можно вывести: am−n·an=am

Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что am−n– частное степеней am и an. Это и есть доказательство второго свойства степени.

Пример 3

Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π: π5:π2=π5−3=π3

3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a·b)n=an·bn при любых действительных a и b и натуральном n.

Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:

Свойства степени с натуральным показателем

Вспомнив свойства умножения, запишем: Свойства степени с натуральным показателем. Это значит то же самое, что и an·bn.

Пример 4

23·-4254=234·-4254

Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:

(a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn

Пример 5

С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2·(-2,3)·a)7=27·(-2,3)7·a

4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a:b)n=an:bn при любых действительных a и b, если b не равно 0, а n – натуральное число.

Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a:b)n·bn=((a:b)·b)n=an , а (a:b)n·bn=an, то из этого выходит, что (a:b)n есть частное от деления an на bn.

Пример 6

Подсчитаем пример: 312:-0.53=3123:(-0,5)3

5. Далее мы поговорим о свойстве возведения степени в степень: (am)n=am·n для любого действительного a и любых натуральных n и m.

Пример 7

Начнем сразу с примера: (52)3=52·3=56

А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства: Свойства степени с натуральным показателем

Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p, q, r, s, то верно будет:

apqys=ap·q·y·s

Пример 8

Добавим конкретики: (((5,2)3)2)5=(5,2)3·2·5=(5,2)30

6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.

Для начала сравним степень с нулем. Почему an>0 при условии, что а больше 0?

Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени an с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.

Пример 9

 35>0, (0,00201)2>0 и 3491351>0

Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.

Пример 10

03=0 и 0762=0

Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2·m, где m – натуральное число.

Тогда:

Свойства степени с натуральным показателем

Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a·a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда Свойства степени с натуральным показателем и степень a2·m также положительны.

Пример 11

Например, (−6)4>0, (−2,2)12>0 и -296>0

А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2·m−1.

Тогда  Свойства степени с натуральным показателем

Все произведения a·a, согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a, то конечный результат будет отрицателен.

Тогда получим: (−5)3<0, (−0,003)17<0 и -111029<0

7. Далее разберем следующее свойство, формулировка которого такова: из двух степеней, имеющих одинаковый натуральный показатель, больше та, основание которой больше (и наоборот).

Как это доказать?

an<bn– неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a<b. Вспомним основные свойства неравенств справедливо и an<bn.

Пример 12

Например, верны неравенства: 37<(2,2)7 и 3511124>(0,75)124

8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.

Докажем эти утверждения.

Для начала нам нужно убедиться, что am<an при условии, что m больше, чем n, и а больше 0, но меньше 1.Теперь сравним с нулем разность am−an

Вынесем an за скобки, после чего наша разность примет вид an·(am−n−1). Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, m−n>0, тогда am−n−1–отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.

У нас вышло, что am−an<0 и am<an. Свойство доказано.

Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: am>a справедливо при m>n и a>1. Укажем разность и вынесем an за скобки: (am−n−1).Степень an при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a>1 степень am−n больше единицы. Выходит, am−an>0 и am>an, что нам и требовалось доказать.

Пример 13

Пример с конкретными числами: 37>32

Предварительный просмотр:

Практическая работа №6: «Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней. Преобразования выражений, содержащих степени.»

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал

Степенью называется выражение вида: , где: — основание степени; — показатель степени.

Свойства степеней

, a ≠ 0;         , a ≠ 0;                

Пример.

Корень -й степени из числа — это число, -я степень которого равна .

Если — чётно.

  • Тогда, если a
  • Или если a ≥ 0, то неотрицательный корень уравнения называется арифметическим корнем n-ой степени из a и обозначается

Если — нечётно.

  • Тогда уравнение  имеет единственный корень при любом .

Пример 4.

Основные свойства корней.

Корнем n-й степени из числа a называется такое число b, n-я степень которого равна a.

Для a>0 и b>0 и натуральных чисел n, m, k выполняются следующие соотношения:

         

Практические задания

Вариант 1

  1. Вычислить:  – 2·
  2. Вычислить:   а)   ;   б) ;   в) · ;    г)  4
  3. Сравнить числа        и  
  4. Упростите выражение, считая, что переменные принимают только положительные значения: а)  · ;   б)   : ·
  5. Вынести множитель из-под  знака корня:

а) ,  m ≥ 0, n > 0 б) ,  a

  1. Внести множитель под знак корня  2a· a > 0
  2. Расположите числа ,    в порядке возрастания.
  3. Упростите выражение:  а)  · ;  б)   –
  4. Освободите знаменатель от иррациональности:

Вариант 2

  1. Вычислить:  – ·
  2. Вычислить:   а)   ;   б) ;  в) ;    г)  5
  3. Сравнить числа        и  
  4. Упростите выражение, считая, что переменные принимают только положительные значения: а)  · ;   б)   ·:
  5. Вынести множитель из-под  знака корня:

а) ,  m > 0, n ≥ 0 б) ,   d

  1. Внести множитель под знак корня  2b· b > 0
  2. Расположите числа ,   в порядке возрастания
  3. Упростите выражение:  а)  · ;  б)   –
  4. Освободите знаменатель от иррациональности: .

 Практические задания

Вариант 1

1. Вычислите: а) ; б)

2. Упростите выражение

3. Вычислите значение выражения при

4. Вычислите: а) 4-3; б) ; в) ; г)

5. Упростите выражения: а) ; б)

6. Упростите выражение

Вариант 2

1. Вычислите: а) ; б)

2. Упростите выражение

3. Вычислите значение выражения при

4. Вычислите: а) 4-2; б) ; в) ; г)

5. Упростите выражения: а) ; б)

6. Упростите выражение

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

  • an — степень,

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, an= a·a·a·a…·a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число — она решается довольно просто:

  • 23 = 2·2·2, где

2 — основание степени

3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе. Их выбор велик, а доступность иногда на расстоянии одного клика в онлайн. Всё это безусловно можно использовать, но сейчас нам важно подробно разобрать принцип работы, чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике.

Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.

Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.

Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:

  • 3·3·3·3 = 81. То есть получается, что три в степени четыре равно 81.

Математики заскучали и решили все упростить:

  • 34 = 81

Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.

Для начала повторим некоторые свойства степеней с натуральным показателем:

  • a0=1 30=0

  • a1 31=1

  • a-n = 3-2=

  1. Задачи на делимость

    Задача 1

    Выяснить, делится ли на 3 число 1+2+22+23+24+…+22003+22004?

    Решение:

    Сгруппируем слагаемые:

    img3.gif

    Первое слагаемое делится на 3, второе нет,значит, сумма не делится на 3.

    Задача 2

    Доказать, что разность 9999931999 – 7777771997кратна 5.

    Решение:

    1. Если оканчивается цифрой 3, то степени оканчиваются 3,9,7,1. Повторение через 4. в нашем случае 1999_4=499+3, 1999=4 х 499 +3. Значит число 9999931999 оканчивается на ту же цифру, что число 33, т.е. на 7.
    2. Если число оканчивается на 7, то степень числа оканчивается на 7,9,3,1. повторение через 4.
    • 71=7
    • 72=49
    • 73=343
    • 74=2401
    • 75=16807
    • 1997:4=499+4

    1997 = 4 х 499+1, значит 7777771997 оканчивается натуже цифру, что и число 71, т.е. на 7.

    3. Разность данных чисел оканчиваетсяна 0 (7–7=0), 0:5, следовательно разность кратна “5”.

    Таблица степеней

    Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

    Число

    Вторая степень

    Третья степень

    1

    1

    1

    2

    4

    8

    3

    9

    27

    4

    16

    64

    5

    25

    125

    6

    36

    216

    7

    49

    343

    8

    64

    512

    9

    81

    729

    10

    100

    1000

    Сложение и вычитание степеней

    Как складывать числа со степенями и как вычитать степени — очень просто. Основной принцип такой: выполняется сначала возведение в степень, а уже потом действия сложения и вычитания.

    23+ 34= 8 + 81= 89

    63- 33= 216 – 27 = 189

    И еще парочка правил

    • Если есть скобки — начинать вычисления нужно внутри них
    • Только потом возводим этот результат из скобок в степень
    • Затем выполняем остальные действия: сначала умножение и деление, а в конце — сложение и вычитание

    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

  • Мне нравится 

 

Понятие о степени с иррациональным показателем

Кроме степеней с рациональными показателями в математике и других точных науках большое значение имеют и степени с иррациональными показателями , однако их определение выходит за рамки курса средней школы. Упомянем лишь о том, что степень с иррациональным показателем строится с помощью предельного перехода по последовательностям степеней с рациональными показателями, которые являются приближениями иррационального показателя степени с недостатком и с избытком.

С понятиями степени с целочисленным показателем и арифметического корня можно ознакомиться в разделе «Степень с целочисленным показателем и арифметический корень» нашего справочника.

Графики степенных и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

Как сравнивать степени с одинаковыми основаниями? С одинаковыми показателями? Можно ли сравнить степени, если и основания, и показатели различны?

Как и сравнение логарифмов, сравнение степеней основано на свойстве показательной функции.

Сравнение степеней с одинаковыми основаниями

  • Если основание степени больше единицы (a>1), показательная функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, соответственно, знак неравенства между показателями степеней и между степенями одинаковый.
  • Если основание степени меньше единицы (0

С помощью схемы сравнение степеней с равными основаниями можно изобразить так:

0_12a169_408dfcfb_orig.png

№1. Сравнить значения выражений:

quicklatex.com-134773dc14eb907d2874258c47455ba1_l3.png

Сравниваем показатели степеней: 1,5 quicklatex.com-10301a25b95e10f99c04fe6bc5df06bc_l3.png<left( <frac<2><7>>
ight)^<1,9>>.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

quicklatex.com-cdeec71c6b6c914f6832640da7b84827_l3.png

Сравниваем показатели степеней:

quicklatex.com-4e53e14d7552274ccf7f93afbfdc8070_l3.png

Основание a=5,2 больше единицы, функция возрастает, знак неравенства между степенями не меняется:

quicklatex.com-4b5b7af60b7d6b83d3b9b9f258f6e540_l3.png

№2. Сравнить показатели m и n, если известно, что для степеней выполняется неравенство:

quicklatex.com-7c2c2dc6319dfbe803ad706b02dc6e83_l3.png

Основание a=0,21 n.

quicklatex.com-32522530ad36e9d144b5130f740d4794_l3.png

quicklatex.com-c8cdf99f2c7de37e8c3b9c8fb2bf2d7a_l3.png1,]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

функция возрастает, поэтому знак неравенства между показателями степеней не изменяется: m Сравнение степеней с одинаковыми показателями .

1) Для возрастающих функций ( x>0):

quicklatex.com-40316158b735e4b9ba6c1bb3338dc1d4_l3.png0 end
ight> Rightarrow a_1^x

quicklatex.com-0044f9734e9367d03e0df1aaff4f7593_l3.pnga_2^< — x>]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Для положительных значений аргумента

quicklatex.com-3147eff7cce5a6a10e49e4d05ec8c3d9_l3.png

quicklatex.com-9079e817121c15653a194ba57edde45d_l3.png

Для отрицательных значений аргумента

quicklatex.com-506f0c6864e3fa180d1375425ba04a02_l3.png

quicklatex.com-ecc2a02f523fd20ab43805c6ee3f060a_l3.png

0_12a16b_8abf5294_orig.jpg

2) Для убывающих функций:

quicklatex.com-c649950c51f56fc53d9b02e247b96e86_l3.png0 end
ight> Rightarrow a_1^x > a_2^x]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

quicklatex.com-07d5430593647f35e49720383d343581_l3.pnga_2^< — x>]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Для положительных значений аргумента

quicklatex.com-3a6a1667443c570dc44772270cbcda0a_l3.png

quicklatex.com-35fc7304828fbd7d1f8f2af1d657192a_l3.png

Для отрицательных значений аргумента:

quicklatex.com-b472206307efab14089a01b3a3849810_l3.png

quicklatex.com-b9ede847e42b95263de8febcb6b7fc3b_l3.png

0_12a16a_1d58af10_orig.jpg

Как сравнивать степени, если и основания, и показатели различны?

Можно попробовать, например, сравнить каждую из степеней с единицей. Любая степень с основанием, большим единицы, при положительных значениях аргумента принимает значения, большие единицы:

quicklatex.com-f9105e78151995cf1ad73993ad382115_l3.png1 x > 0 end
ight> Rightarrow > 1,]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

при отрицательных — меньшие 1:

quicklatex.com-5a6ef64a363b812011bf9312defef5ce_l3.png1 — x

Если основание меньше единицы — соответственно,

quicklatex.com-64cf0bfcef77bfa69c93d6babf8040a0_l3.png0 end
ight> Rightarrow

quicklatex.com-7f9f93a746669aa0a8c16afb45c9f0ed_l3.png1.]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

quicklatex.com-716ad1945fb6950707d155e1b8aecaa4_l3.png

quicklatex.com-8d580561abecbf3d94fd3edbe23de59d_l3.png1 end
ight> Rightarrow <left( <frac<8><9>>
ight)^<10>>

В алгебре сравнивать степени чаще всего приходится при решении показательных неравенств.

Как решать показательные неравенства, мы рассмотрим позже.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...