Спираль в SOLIDWORKS | Спираль Архимеда © Студия Vertex

Описание[править | править код]

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

(1)   ρ = k φ , {displaystyle rho =kvarphi ,} {displaystyle rho =kvarphi ,}

где k — смещение точки M по лучу r при повороте на угол, равный одному радиану.

Повороту прямой на 2 π {displaystyle 2pi } 2pi соответствует смещение a = |BM| = |MA| = 2 k π {displaystyle 2kpi } 2kpi.Число a — называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

ρ = a 2 π φ . {displaystyle rho ={frac {a}{2pi }}varphi .} {displaystyle rho ={frac {a}{2pi }}varphi .}

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. Рис. 2), при вращении по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям φ {displaystyle varphi } varphi соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали a = 2 k π {displaystyle a=2kpi } a=2kpi. При раскручивании спирали расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть чем дальше от центра, тем ближе витки спирали по форме приближаются к окружности.

Читайте также

Последовательность Фибоначчи и спираль Архимеда

Последовательность Фибоначчи и спираль АрхимедаПлотная пища жен ФибоначчиТолько на пользу им шла, не иначе.Весили жены, согласно молве,Каждая – как предыдущие две.Джеймс ЛиндонЧисловой ряд Фибоначчи – загадочная последовательность, воспетая в романах Дэна

Спираль Архимеда и закон октав

Спираль Архимеда и закон октавИскусство – и я имею в виду подлинное, доброе искусство – зиждется, помимо всего прочего, на принципах баланса, динамики, местоположения и композиции. Эти элементы должны находиться в гармонии, взаимодействовать друг с другом, чтобы

Глава тринадцатая: Математическая физика спирали в единицах сознания

Глава тринадцатая: Математическая физика спирали в единицах сознанияВ этой главе мы обнаруживаем наиболее типичную связь между трехмерными геометриями ЕС и гармоническими математическими “числами частоты” в Октаве.Такая связь выявляется с помощью работы Карла

Движение по спирали

Движение по спиралиЛюди часто спрашивают меня, особенно хорошие люди в высокоразвитых капиталистических странах, почему я говорю только о плохом? Я говорю о плохом, чтобы превратить это в нормальное, а не говорю о плохом, чтобы называть это плохим. Человек, который

ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ЛЮБВИ

ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА ЛЮБВИВСТУПЛЕНИЕРождение каждой книги – свой, оригинальный процесс, и с каждой книгой связаны какие-то интересные истории. Вот пишу я эту книгу с таким характерным названием «Построение Пространства Любви», и получаю посылку от неизвестной мне

5.2. Построение физической модели

5.2. Построение физической моделиВ квантовой механике доказывается, что систему взаимодействующих частиц можно описать, используя понятие квантового поля. При этом принято каждому виду взаимодействия ставить в соответствие свое квантовое поле. По современным

Движение по спирали

Движение по спиралиЖизнь представляет собой волнообразное движение по спирали. Виток спирали – это отведенный человеку срок, который начинается и завершается в одном месте, с той разницей, что конец всегда расположен выше, чем начало. Это означает, что, независимо от

Построение гороскопа

Построение гороскопаВ этом разделе рассмотрим основные термины и понятия, связанные с построением натального гороскопа, или, как его еще называют, гороскопа рождения. В его основе лежит, разумеется, космограмма, изображающая положение планет в момент рождения

000. ПОСТРОЕНИЕ ПИРАМИДЫ

000. ПОСТРОЕНИЕ ПИРАМИДЫМаг держит Жезл. На Алтаре расположены Ладан, Огонь, Хлеб, Вино, Цепь, Плеть, Кинжал и Масло. В левую руку он берет Колокольчик, звонит 2 раза:Радуйся, Аси! Радуйся, Гор-Апеп!Пусть Молчание породит Речь!Изгоняющий спиральный танец:[1]Изрёк Слова

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СПИРАЛИ ДНК

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СПИРАЛИ ДНК Человек — инструмент познания Богом Самого СебяНаша планета летит по спирали и неуклонно приближается к своему часу «Х». Земля как бы «раздувается», переполняется энергией изнутри, и в какой-то момент у 25% воплощенных на планете душ

ЖИЗНЕННЫЕ СПИРАЛИ

ЖИЗНЕННЫЕ СПИРАЛИУ каждого человека в жизни есть точка, с которой начинается его духовный путь. Когда человек только начинает двигаться по первому кругу, в течение короткого периода все идет легко— вдруг все вопросы разрешаются, вдруг все видно, все понятно от начала до

Глава 11. Конец спирали, ведущей вниз

Глава 11. Конец спирали, ведущей внизСледующие семь лет моя карьера и семейная жизнь продолжали испытывать кризис. Долгое время окружающие меня люди — даже самые близкие — не могли понять, каковы мои проблемы. Но постепенно, наблюдая за мной, Холли и сестры догадались, в

10.1. Построение парцуфа

10.1. Построение парцуфаПарцуф – душа, духовное «тело»[307], состоящее из головы (рош), туловища (тох) и конечной части (соф).После того как прямой свет[308] (ор яшар – ОЯ) приходит к малхут, она его отталкивает, рассчитывая, сколько может взять от него. Малхут решает, что может

Потоки и спирали повсюду

Потоки и спирали повсюдуНадеюсь, мне нет нужды говорить, что линии развития не являются линиями в прямом смысле этого слова. Они представляют собой не что иное, как вероятности поведения, и поэтому являются скорее вероятностными полями, нежели прямыми, как линейка,

Построение спирали Архимеда

Некоторая прямая UV изначально совпадает с прямой XX`. Прямая UV равномерно вращается относительно точки O. По прямой UV равномерно перемещается точка M отдаляясь от точки O. В результате точка M, перемещаясь по вышеуказанным правилам, описывает линию — спираль Архимеда.

Этап 1. Давайте знакомиться!

Состав команды:

Сочинение-эссе – на тему “Как найти свое место под Солнцем”

Местоподсолнцем.jpg

“Места под солнцем, как правило, горячие.”
(Александр Минченков)

Что же такое “место под солнцем”? Ответ знает каждый-это желание человека занять самое лучшее место в жизни, место, в котором он будет чувствовать себя хорошо. Это крылатое выражение встречается у Блеза Паскаля – известного французского математика и физика уже в 17 веке! Этот великий человек прожил лишь 39 лет, но за этот короткий срок он успел найти своё место в жизни.Паскаль являлся не только основателем таких важных вещей, как математический анализ, теория вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики, но и замечательным философом. Он стал единственным в новой истории великим литератором и великим математиком одновременно. Что же значит для нас “место под солнцем”?

Блез Паскаль

Рене Декарт

Для каждого человека высказывание “место под солнцем” значит что-то особенное. Кто-то хочет стать великим математиком или физиком, кто-то политиком, а кто-то учителем. В голову сразу приходит цитата из книги В.Каверина Два Капитана “Бороться и искать, найти и не сдаваться”. Саня прошёл через множество испытаний, прежде чем он всё же добился того, о чём мечтал.

Наш проект посвящён Рене Декарту. Этот человек во многом схож с Блезом Паскалем. Он также жил во Франции в 17 веке и был математиком, физиком и философом. Работы Декарта произвели переворот в геометрии того времени. Ему тоже повезло найти своё место под солнцем.

Так и нам, современным людям, хочется найти своё “место под солнцем” . Мы стараемся участвовать во всех возможных конкурсах и проектах, чтобы сделать это. И этот проект не стал исключением! Мы, как и Саня Григорьев, будем “Бороться и искать, найдём и не сдадимся”!

Природа, история, эзотерика

Многие объекты принимают форму спирали по мере развития. Это помогает им занимать большую площадь, расширяясь и сохраняя себя. Причем расширяться можно в стороны или расти вверх.

Встречая их повсеместно в природе, не удивительно, что изображения спиралей человек стал наносить на предметы быта одними из первых, наравне с такими фигурами как круг или треугольник. Древние спиральные рисунки встречаются со времен палеолита на скалах, глиняной утвари, оберегах, погребальных сооружениях.

С эзотерической точки зрения спираль может быть истолкована как развивающаяся жизненная энергия. Ее называют и символом жизни, и амбивалентным символом, связывающим жизнь и смерть.

Подобно мандале, спираль используют в медитации. Иногда применяют в гипнозе. Она также ассоциируется с лабиринтом (об этом ниже).

В символе инь-янь присутствует двойная спираль. Перекручиваются между собой две энергии, два начала.

В известном символе кадуцей присутствуют две переплетенные в спираль змеи. Кадуцей имеет много значений. Это жезл глашатаев и символ ключа к тайным знаниям. Он обозначает дуализм мироздания и является символом медицины.

Кадуцей

Кадуцей

В кельтских мотивах часто присутствует тройная спираль. Узоры на ее основе высечены на камнях, благодаря чему сохранились по сей день. В Ирландии находится древнее культовое сооружение из каменных глыб Ньюгрейндж, на которых имеются изображения концентрических кругов и спиралей. По мнению ученых они символизируют цикл смерти и возрождения, границу перехода в иной мир. Что интересно, постройкам, найденным в Ирландии, насчитывается около 5 тысячи лет. Они старше египетских пирамид в Гизе и Стоунхенджа, и конечно же появились раньше кельтской культуры.

Спирали на камне в Ньюгрейндж (Ирландия)

Спирали на камне в Ньюгрейндж (Ирландия)

Тройная кельтская спираль

Тройная кельтская спираль

Спираль по траектории

Запустим SolidWorks и создадим новый документ Деталь.

Спираль в SOLIDWORKS 01

Построим эскиз на плоскости Спереди.

Спираль в SOLIDWORKS 02

Чертим окружность с диаметром 5 мм и расстоянием от центра координат 50 мм.

Спираль в SOLIDWORKS 03

Выходим из эскиза и создаем еще один эскиз на этой же плоскости.

Спираль в SOLIDWORKS 04

От центра координат, чертим вертикальную линию с высотой в 100 мм. Нажимаем ОК и выходим из эскиза.

Спираль в SOLIDWORKS 05

Спираль в SOLIDWORKS 06

Итого имеем два эскиза на плоскости Спереди. Во вкладке Элементы нажимаем на Бобышка/основание по траектории. Построим спираль по траектории.

Спираль в SOLIDWORKS 07

На панели параметров для синей области указываем Эскиз 1 который будет являться сечением для спирали, а для красной области выбираем Эскиз 2, который будет как центр вращением траектории спирали.

Далее открываем вкладку Параметры>Указать величину скручивания и в Контроль скручивания выбираем Вращения (указываем значение 10). То есть задавая эти параметры, мы неким образом накладываем массив по спирали. При этом можем видеть как предварительно будет выглядеть спираль. Нажимаем ОК.

Спираль в SOLIDWORKS 08

Спираль по траектории готова. Таким образом мы построили пружину.

Спираль в SOLIDWORKS 09

Определение спирали Архимеда

Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.

Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.

Полярное уравнение спирали Архимеда

В этом уравнении можно перейти от шага спирали Архимеда a к параметру спирали Архимеда k

Тогда уравнение спирали примет вид

При повороте прямой UV на один радиан, точка M смещается на расстояние равное Параметру спирали Архимеда.

Архимедова спираль – плоская кривая сформированная траекторией произвольной точки, которая размеренно двигается по лучу берущему свое начало в O, одновременно с этим сам луч размерено обращается вокруг O. Перефразировав получаем, расстояние ρ пропорционально углу оборота φ луча. Обороту луча на одинаковый угол соответствует одно и то же увеличение ρ.

00806155b2994fcd0067.86217133.PNG

Уравнение, характеризующее Архимедову спираль, в полярной системе координат:

где k – сдвиг точки M по лучу r, при обороте на угол, который равен одному радиану.

Обороту прямой на 2π соответствует смещение a = 2kπ.

Число a – шаг спирали.

На основании этого уравнение Архимедовой спирали можно представить таким образом:

Когда поворачиваем луч против движения часовой стрелки, получаем правую спираль, когда поворачиваем – по часовой стрелке – левую спираль. При положительной величине φ формируется правая спираль, отрицательной – левая спираль.

Kateryna-Vyshenska_COMSOL-Blog-author.png

Спирали Архимеда широко используются при построении геометрий для катушек индуктивности, спиральных теплообменников и микрогидродинамических устройств. В этой заметке мы покажем, как построить спираль Архимеда, используя аналитические выражения и их производные для задания необходимых кривых. Сначала мы создадим двухмерную геометрию, а затем, задав нужную толщину, преобразуем её в трёхмерную с помощью операции Extrude (Вытягивание).

Что такое спираль Архимеда?

Широко распространённые в природе спирали или завитки используются во многих инженерных конструкциях. Например, в электротехнике и электронике с помощью проводников спиралевидной формы наматывают катушки индуктивности или проектируют геликоидные антенны. В машиностроении спирали используются при проектировании пружин, косозубых цилиндрических передач или даже механизмов часов, один из которых изображён ниже.

Archimedean-spiral-example.jpg
Пример спирали Архимеда, которая используется в часовом механизме. Изображение представлено Greubel Forsey. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 из Wikimedia Commons.

В данной статье мы разберём только один вид спирали, а именно, спираль Архимеда, которая изображена в механизме выше. Спираль Архимеда – это особый вид спирали с постоянным расстоянием между витками. Благодаря этому свойству она широко распространена при проектировании катушек и пружин.

Уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат записывается, как:

где a и b — параметры, определяющие начальный радиус спирали и расстояние между витками, которое равно 2 pi b . Обратите внимание, что спираль Архимеда также иногда называют арифметической спиралью. Это имя связывают с арифметической зависимостью расстояния от начала кривой до точек спирали, находящихся на одной радиальной линии.

Задание параметризированной геометрии спирали Архимеда

Теперь, когда вы уже знаете, что такое спираль Архимеда, давайте приступим к параметризации и созданию геометрии в COMSOL Multiphysics.

Polar-coordinates-schematic.png
Спираль Архимеда может быть задана как в полярных, так и в декартовых координатах.

Для начала необходимо преобразовать уравнение спирали из полярной системы координат в декартову и выразить каждое уравнение в параметрической форме:

После преобразования уравнения спирали в параметрической форме в декартовой системе координат примут вид:

В COMSOL Multiphysics необходимо определить набор параметров, с помощью которых будем задавать геометрию спирали. В нашем случае — это начальный и конечный радиусы спирали a_ и a_ , соответственно, и количество витков n . Показатель роста спирали b находится, как:

Также необходимо определить начальный и конечный углы спирали — theta_0 и theta_f , соответственно. Давайте с них и начнём — theta_0=0 и theta_f=2 pi n . Исходя из заданной информации, определяем параметры для построения геометрии спирали.

Spiral-geometry-parameters.png
Параметры, которые используются для построения геометрии спирали.

Начнём наше построение, выбрав трёхмерную задачу (3D Component) и создадим Work Plane (Рабочую плоскость) в разделе Geometry (Геометрия). В геометрии для Work Plane добавляем Parametric Curve (Параметрическую кривую) и записываем параметрические уравнения, описанные выше, чтобы задать двухмерную геометрию спирали Архимеда. Данные уравнения можно сразу вписать в соответствующие поля во вкладке Expression либо сначала можно задать каждое уравнение отдельной Аналитической функцией (Analytic function):

Analytic-function.png
Выражение для X-компоненты уравнения спирали Архимеда, заданное аналитической функцией.

Аналитическая функция затем может использоваться в качестве выражения в узле Parametric Curve. Во вкладке Parameter задаём параметр s от начального угла, theta_0 , до его конечного значения, theta_f=2 pi n .

Parametric-Curve-feature-settings.png
Настройки для Parametric Curve (Параметрической кривой).

Как только вы зададите все параметры и нажмёте на кнопку «Build Selected», будет построена кривая, изображённая на скриншоте выше. Теперь давайте зададим толщину спирали, чтобы получить твёрдотельную (solid) двухмерную фигуру.

До этого момента параметрами нашей кривой были начальный ( a_ ) и конечный ( a_ ) радиусы и количество витков n . Теперь мы хотим добавить ещё один – толщину спирали.

Ещё раз напомним главное свойство спирали — расстояние между витками постоянно и равно 2 pi b . Что эквивалентно frac-a_> . Чтобы добавить толщину в наши уравнения, представляем расстояние между витками суммой толщины спирали и зазора thick+gap .

Spiral-thickness.png
Расстояние между витками определяется толщиной спирали и величиной зазора.

Чтобы ввести параметр толщины и сохранить постоянное расстояние между витками, последнее перепишем, как:

После этого выражаем показатель роста спирали через толщину:

Также нужно выразить конечный угол спирали через начальный угол и конечный радиус:

Хотите задать отличный от нуля начальный угол спирали? Если так, то его надо будет добавить в выражение для определения конечного угла: theta_f=frac-a_>+theta_0 .

Дублирование кривой спирали дважды со смещением на -frac <2>и +frac <2>по отношению к начальной кривой позволяет построить спираль заданной толщины. Чтобы правильно расположить внутреннюю и внешнюю спирали, необходимо убедиться, что начала данных кривых перпендикулярны линии, на которой расположены их начальные точки. Это можно сделать, домножив расстояние смещения pmfrac <2>на единичный вектор, расположенный по нормали к начальной кривой спирали. Уравнения векторов нормали в параметрическом виде:

где s — это параметр, используемый в узле Parametric Curve. Чтобы получить нормированные единичные вектора, необходимо эти выражения разделить на длину нормали:

Обновленные параметрические уравнения спирали Архимеда со смещением:

Записывать такие длинные выражения довольно неудобно, поэтому введём следующие обозначения:

где N_x и N_y определяются аналитическими функциями в COMSOL Multiphysics, аналогично X_ и Y_ в первом примере. Внутри функции используется оператор производной, d(f(x),x) , как показано на скриншоте ниже.

Derivative-operator-examples.png
Примеры оператора производной, который используется в аналитической функции

Функции X_ , Y_ , N_x , и N_y могут быть использованы в выражениях для задания параметрической кривой, как с одной стороны:

Offset-parameter-curve.png
Выражения для второй смещённой параметрической кривой.

Чтобы соединить концы, добавим ещё две параметрические кривые, используя незначительные изменения уравнений выше. Для кривой, которая будет соединять спираль в центре, необходимо задать X_ , Y_ , N_x , и N_y для начального значения угла, theta. Для кривой, которая будет соединять концы, необходимо задать конечное значение theta. Исходя из этого, уравнения кривой в центре:

Уравнения кривой на конце:

В этих уравнениях параметр s изменяется от -1 до 1, как показано на скриншоте ниже.

Curve-that-joins-one-end-of-spiral.png
Уравнения кривой, соединяющей спираль в центре.

В итоге, мы имеем пять кривых, которые определяют осевую линию спирали и её четыре стороны. Осевую линию можно отключить (функция disable) или даже удалить, так как она не является необходимой. Добавив узел Convert to Solid, создаём единый геометрический объект. Последним шагом является вытягивание данного профиля с помощью операции Extrude и создание трёхмерного объекта.

Full-geometry-sequence-and-3D-geometry.png
Полная геометрическая последовательность и вытянутая (экструдированная) трёхмерная геометрия спирали.

Краткие выводы по моделированию спирали Архимеда в COMSOL Multiphysics

В данной заметке мы разобрали основные шаги по созданию параметрической спирали Архимеда. С помощью данной модели вы можете сами экспериментировать с различными значениями параметров, а также попробовать решить с использованием данной параметризации оптимизационную задачу. Надеемся, что данная статья оказалась полезной и вы будете применять данную технику в своих последующих моделях.

  • Автор: Мария Сухоруких
  • Распечатать
Оцените статью:

(0 голосов, среднее: 0 из 5)

Этап 3. Взгляд в настоящее!

Построение кардиоиды

Системы координат

Спираль Архимеда

Архимед вывел формулу спирали, получившей его имя, изучая стрелку компаса. Он вращал компас против часовой стрелки и одновременно с постоянной скоростью тянул за стрелку. В результате стрелка нарисовала спиральную линию. Представить этот опыт можно и так: вращается тарелка, а по радиусу от центра по ней ползет муха. Движение мухи будет по спирали. Спираль Архимеда несложно построить.

Поскольку это не математический сайт, приводить формулы здесь не будем. Тем, кому интересно, всегда найдет информацию о линиях, которые называются спиралями.

Окаменелость моллюска в форме спирали

Окаменелость моллюска в форме спирали

Приложения

Один из методов возведения круга в квадрат , изобретенный Архимедом, использует архимедову спираль. Архимед также показал, как спиралью можно разрезать угол пополам . Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах.

Механизм спирального компрессора

Спираль Архимеда имеет множество практических применений. Спиральные компрессоры , используемые для сжатия газов, имеют роторы, которые могут быть сделаны из двух чередующихся архимедовых спиралей, эвольвенты круга одинакового размера, почти напоминающего спирали Архимеда, или гибридных кривых. Архимедовы спирали можно найти в спиральной антенне , которая может работать в широком диапазоне частот. Катушки пружин баланса часов и канавки на очень ранних граммофонных пластинках образуют архимедовы спирали, делая канавки равномерно расположенными (хотя позже было введено переменное расстояние между дорожками, чтобы максимизировать количество музыки, которое можно было нарезать на пластинку). Попросить пациента нарисовать спираль Архимеда – это способ количественной оценки человеческого тремора ; эта информация помогает в диагностике неврологических заболеваний. Архимедовы спирали также используются в проекционных системах с цифровой обработкой света (DLP), чтобы минимизировать « эффект радуги », создавая впечатление, будто несколько цветов отображаются одновременно, тогда как на самом деле красный, зеленый и синий чередуются чрезвычайно быстро. . Кроме того, спирали Архимеда используются в пищевой микробиологии для количественного определения концентрации бактерий с помощью спирального диска. Они также используются для моделирования узора, который появляется на рулоне бумаги или ленты постоянной толщины, намотанной вокруг цилиндра.

Трёхмерное обобщение[править | править код]

Трёхмерным обобщением архимедовой спирали можно считать проекцию конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса.

Архимедова спираль (черная), как проекция конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса, цилиндрическая спираль (зеленая) и коническая спираль (красная)

внешняя ссылка

  • Джонатан Мэтт делает интересную спираль Архимеда – Видео: Удивительная красота математики – TedX Talks , Green Farms
  • Вайсштейн, Эрик В. «Спираль Архимеда» . MathWorld .
  • архимедова спираль в PlanetMath .
  • Страница с приложением Java для интерактивного изучения спирали Архимеда и связанных с ней кривых
  • Онлайн-исследование с использованием JSXGraph (JavaScript)
  • Архимедова спираль на “математической кривой”
Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...