Решение пределов с корнями разных степеней

Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций, арктангенс бесконечности, число в степени бесконечность.

Основные свойства пределов с корнями

warning-b.pngТеорема

Для нахождения предела функции необходимо подставить в предел вместо Х то значение переменной, к которому стремится Х.

Предел функции при ( x to x_0 )

Пусть функция ( f(x) ) определена на некотором множестве (X) и пусть точка ( x_0 in X ) или ( x_0 notin X )

Возьмем из (X) последовательность точек, отличных от (x_0) :
(x_1 ;, ; x_2 ;, ; x_3 ;, …, ; x_n ; , ; … tag{1} )сходящуюся к (x^*).
Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
( f(x_1) ;, ; f(x_2) ;, ; f(x_3) ;, …, ; f(x_n) ; , ; … tag{2} )и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке ( x = x_0 ) (или при ( x to x_0 ) ), если длялюбой сходящейся к (x_0) последовательности (1) значений аргумента (x), отличных от (x_0) соответствующаяпоследовательность (2) значений функции сходится к числу (A).

Символически это записывается так:
$$ lim_{xto x_0}{ f(x)} = A $$

Функция (f(x)) может иметь в точке (x_0) только один предел. Это следует из того, что последовательность ( left{ f(x_n) right} ) имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любого числа ( varepsilon > 0 )существует число ( delta > 0 ) такое, что для всех ( x in X, ; x neq x_0 ), удовлетворяющих неравенству ( |x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x in X, ; x neq x_0, ; |x-x_0| Отметим, что неравенства ( x neq x_0, ; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением«на языке последовательностей».
Второе определение называют определением «на языке ( varepsilon – delta )».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое болееудобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне,а определение предела функции «на языке ( varepsilon – delta )» — определением предела функции по Коши.

Таблица пределов функции

Для упрощения  и решения пределов используется данная таблица основных пределов.

Функция корень n-ой степени

y=xn, где n=2, 4, 6 …

limx→∞xn=+∞n=+∞

Для любых x0 из опрелеления 

limx→x0xn=x0n

Функция корень n-ой степени

y=xn, где n=3, 5, 7 … 

limx→∞xn=+∞n=+∞limx→∞xn=-∞n=-∞

limx→x0xn=x0n

Степенная функция y=xa , a>0

  1. Для любого положительного числа a
    limx→∞xa=+∞a=+∞
  2. Если a=2, 4, 6 …, то
    limx→∞xa=-∞a=+∞
  3. Если a=1, 3, 5, …, то
    limx→∞xa=-∞a=-∞
  4. Для любых x0, из области определния
    limx→x0xa=(x0)a

Степенная функция y=xa, a<0

  1. Для любого отрицательного числа a
    limx→∞xa=(+∞)a=+0limx→0+0=(0+0)a=+∞
  2. Если a=-2, -4, -4, …, то
    limx→∞xa=-∞a=+0limx→0-0xa=(0-0)a=+∞
  3. Если a=-1, -3, -5, …, то
    limx→∞xa=-∞a=-0limx→0-0xa=(0-0)a=-∞
  4. Для любых x0 из области определения
    limx→x0xa=(x0)a

Показательная функия

y=ax, 0<a<1

limx→∞ax=a-∞=+∞limx→∞ax=a+∞=+0

Для любых x0 из области опреления limx→x0ax=ax0

Показательная функия

y=ax, a>1limx→∞ax=a-∞=+0limx→x0ax=a+∞=+∞

Для любых знвчений x0 из област опредения limx→x0ax=ax0

Логарифмическая функция

y=loga(x), 0<a<1

limx→0+0logax=loga(0+0)=+∞limx→∞logax=loga(+∞)=-∞

Для любых x0 из области опрелеленияlimx→x0logax=logax0

Логарифмическая функция

y=loga(x), a>1

limx→0+0logax=loga(0+0)=-∞limx→∞logax=loga(+∞)=+∞

Для любых x0 из области опрелеления

limx→x0logax=logax0

Тригонометрические функции

  • Синус
    limx→∞ sin x не существует
    Для любых x0 из области опрелеления
    limx→x0sin x=sin x0
  • Тангненсlimx→π2-0+π·ktg x=tgπ2-0+π·k=+∞limx→π2+0+π·ktg x=tgπ2+0+π·k=-∞

limx→∞tg x не существует

Для любых x0 из области опрелеления

limx→x0tg x=tg x0

Тригонометрические функции

  • Косинус
    limx→∞cos x не существует 
    Для любых x0 из области опрелеления
    limx→x0cos x=cos x0
  • Котангенсlimx→-0+π·kctg x=ctg(-0+π·k)=-∞limx→+0+π·kctg x=ctg(+0+π·k)=+∞

limx→∞ctg x не существует

Для любых x0 из области опрелеления
limx→x0сtg x=сtg x0

Обратные тригонометрические функции

  • Арксинус
    limx→-1+0arcsin x=-π2limx→1-0arcsin x=π2

Для любых x0 из области опрелеления

limx→x0arcsin x=arcsin x0

  • Арккосинус
    limx→-1+0arccos (x)=πlimx→1-0arccos (x)=0

Для любых x0 из области опрелеления

limx→x0arccis x=arccos x0

Обратные тригонометрические функции

  • Арктангес
    limx→-∞ arctg (x)=-π2limx→+∞ arctg (x)=π2

Для любых x0 из области опрелеления

limx→x0arctg x=arctg x0

  • Арккотангенс
    limx→-∞arcctg (x)=πlimx→+∞arcctg (x)=0

Для любых x0 из области опрелеления

limx→x0arcctg x=arcctg x0

Пример 2

Произвести вычисление предела limx→1×3+3x-1×5+3.

Решение

Для решения необходимо подставить значение х=1. Получаем, что

limx→1×3+3x-1×5+3=13+3·1-115+3=34=32

Ответ: limx→1×3+3x-1×5+3=32

Пример 3

Произвести вычисление предела функции limx→0(x2+2,5)1×2

Решение

Для того, чтобы раскрыть предел, необходимо подставить значение х, к которому стремится предел функции. В данном случае нужно произвести подстановку х=0. Подставляем числовое значение и получаем:

x2+2.5x=0=02+2.5=2.5

Предел записывается в виде limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×2. Далее необходимо заняться значением показателя. Он является степенной функцией 1×2=x-2. В таблице пределов, предоставленной выше, имеем, что limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞ и limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞, значит, имеем право записать как limx→01×2=limx→0x-2=+∞

Теперь вычислим предел. Получит вид limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×2=2.5+∞

По таблице пределов с показательными функциями, имеющими основание больше 1 получаем, что

limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×22.5+∞=+∞

Ответ: limx→0(x2+2.5)1×2=+∞

Когда задан более сложный предел, то при помощи таблицы не всегда получится получать целое или конкретное значение. Чаще получаются разные виды неопределенностей, для разрешения которых необходимо применять правила.

Рассмотрим графическое разъяснение приведенной выше таблицы пределов основных элементарных функций.

Предел константы

Предел константы  

Из рисунка видно, что функция у=С имеет предел на бесконечности. Такой же предел при аргументе, который стремится к х0. Он равняется числу C.

Предел функции корень n-ой степени

Предел функции корень n-ой степениПредел функции корень n-ой степени

Четные показатели корня применимы для limx→+∞xn=+∞n=+∞, а нечетные, равные больше, чем значение 1, – для limx→+∞xn=+∞n=+∞, limx→-∞xn=-∞n=-∞.  Область определения может принимать абсолютно любое значение х предела заданной функции корня n-ой степени, равного значению функции  в заданной точке.

Примеры решений пределов с корнями

warning.pngПример №1

Задание

Найти предел

    [lim_{xrightarrow infty}frac{2x^{2}-3x-4}{sqrt{4x^{4}+1}}]

Решение

Мы имеем неопределенность вида

    [left[frac{infty}{infty} right]]

Первый шаг – разделить числитель и знаменатель на ”х” в высшей степени. Старшая степень для числителя в данном случае равна двум.
Со знаменателем немного сложнее.  Так как у нас корень, обращаем внимание только на самое ”старшее” слагаемое –

    [sqrt{4x^{4}}.]

Число (4) – это константа, его тоже отбрасываем. Находим корень

    [sqrt{x^{4}}=x^{2}.]

Так как числитель и знаменатель оказываются одного порядка роста, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

    [lim_{xrightarrow infty}frac{2x^{2}}{2x^{2}}=1]

Видим, что функции эквивалентны на бесконечности.

Оформляем решение:

    [lim_{xrightarrow infty}frac{2x^{2}-3x-4}{sqrt{4x^{4}+1}}=frac{infty}{infty}=lim_{xrightarrow infty}frac{{}frac{2x^{2}-3x-4}{x^{2}}} {frac{sqrt{4x^{4}+1}}{sqrt{x^{4}}}}=frac{2}{sqrt{4}}=frac{2}{2}=1]

Ответ: 1

warning.pngПример № 2

Задание

Найти предел с корнем

    [lim_{xrightarrow 4}frac{x-4}{4-sqrt{x+12}}]

Решение

Подставляем

    [xrightarrow 4]

в подпредельную функцию:

    [lim_{xrightarrow 4}frac{x-4}{4-sqrt{x+12}}=frac{0}{0}=]

Получаем неопределенность

    [left[frac{0}{0} right ]]

Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к нему –

    [(4+sqrt{x+12}),]

так как он содержит корень.
Далее, пользуясь формулой разности квадратов

    [(a-b)(a+b)=a^2-b^2]

и раскрывая скобки, упрощаем предел. Последний шаг – сокращение функции на

    [x-4]

    [lim_{xrightarrow 4}frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{(4-sqrt{x+12})(4+sqrt{x+12})}=lim_{xrightarrow 4}frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{16-(x+12)}=]

    [= lim_{xrightarrow 4}frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{4-x}=-lim_{xrightarrow 4}(4+sqrt{x+12})=-(4+sqrt{4+12})=-8]

Ответ: -8

warning.pngПример №3

Задание

Решить предел с корнем

    [lim_{xrightarrow infty}frac{x^{2}+5x+2}{sqrt{x+6}}]

Решение

Подставляем

    [xrightarrow infty]

в предел и получаем неопределённость вида

    [left[frac{infty}{infty} right ]]

Как и в предыдущих примерах, находим старшую степень для числителя и знаменателя, и выносим её за скобки.

    [lim_{xrightarrow infty}frac{x^2 left(1+frac{5x}{x^2}+frac{2}{x^2}right)}{x^2(sqrt{frac{x}{x^4}+frac{6}{x^4}})}=lim_{x rightarrow infty}frac{1+frac{5x}{x^2}+frac{2}{x^2}}{sqrt{frac{1}{x^3}+frac{6}{x^4}}}=]

И опять подставляем

    [xrightarrow infty]

в предел и решаем:

    [=frac{1+0+0}{sqrt{0+0}}=left[frac{1}{0}right]=infty]

Ответ:

    [infty]

warning.pngПример №4

Задание

Вычислить предел корня:

    [lim_{xrightarrow infty}sqrt{x^2-3x}-x]

Решение

Аналогично предыдущим примерам, подставляем

    [xrightarrow infty]

  в предел и видим:

    [[infty - infty]]

Находим сопряженное, в данном случае это

    [(sqrt{x^2-3x}+x).]

Как и в примере №2, пользуясь формулой разности квадратов

    [(a-b)(a+b)=a^2-b^2]

и раскрывая скобки, упрощаем предел:

    [lim_{x rightarrow infty}frac{(sqrt{x^2-3x}-x)(sqrt{x^2-3x}+x)}{(sqrt{x^2-3x}+x)}=lim_{x rightarrow infty}frac{(x^2-3x)-x^2}{(sqrt{x^2-3x}+x)}]

Раскрываем скобки и упрощаем. Затем выносим х за скобки и сокращаем:

    [lim_{x rightarrow infty}frac{3x}{sqrt{x^2-3x}+x}=lim_{x rightarrow infty}frac{-3x}{x(sqrt{1-frac{3}{x}}+1)}=]

Как и в начале, подставляем  в предел, получаем:

    [=frac{-3}{sqrt{1-0}+1}=-frac{3}{2}]

Ответ:

    [- frac{3}{2}]

warning.pngПример №5

Задание

Вычислить предел функции

    [lim_{xrightarrow 1}frac{x-1}{3-sqrt{x+8}}]

Решение

Если подставить х=1, видно, что и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Получаем неопределенность вида

    [left[frac{0}{0} right ]]

Как и в предыдущих примерах, первым шагом находим сопряжённое –

    [3+sqrt{x+8}]

и домножаем на него числитель и знаменатель.

    [lim_{xrightarrow 1}frac{x-1}{3-sqrt{x+8}}cdotfrac{3+sqrt{x+8}}{3+sqrt{x+8}}]

Применяем правило разности квадратов

    [(a-b)(a+b)=a^2-b^2]

и преобразовываем предел:

    [lim_{xrightarrow 1}frac{(x-1)(3+sqrt{x+8})}{3^2-(sqrt{x+8})^2}=lim_{xrightarrow 1}frac{(x-1)(3+sqrt{x+8})}{9-(x+8)}=]

    [= lim_{xrightarrow 1}frac{(x-1)(3+sqrt{x+8})}{-(x-1)}]

Сокращаем числитель и знаменатель на (x-1) и приходим к конечному ответу:

    [-lim_{xrightarrow 1}(3+sqrt{x+8})=3+sqrt{x+8}=6]

Ответ: 6

warning.pngПример № 6

Задание

Вычислить предел:

    [lim_{xrightarrow 3}frac{sqrt{x^2-5}-2}{x-3}]

Решение:

Первый шаг – подставить в предел выражение

    [х=3]

и убедиться, что выходит неопределённость вида

    [left[frac{0}{0} right]]

Шаг второй – раскрываем нашу неопределенность путём умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, в данном случае –

    [(sqrt{x^2-5}+2)]

    [lim_{xrightarrow 3}frac{sqrt{x^2-5}-2}{x-3}cdot frac{sqrt{x^2-5}+2}{sqrt{x^2-5}+2}=lim_{xrightarrow 3}frac{(x^2-9)}{(x-3)(sqrt{x^2-5}+2)}]

Далее, пользуясь формулой разности квадратов раскладываем числитель:

    [lim_{xrightarrow 3}frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(sqrt{x^2-5}+2)}=lim_{xrightarrow 3}frac{(x+3)}{sqrt{x^2-5}+2}]

Подставляем х=3 в предел и вычисляем:

    [=frac{3+3}{(sqrt{9-5}+2)}=frac{6}{4}=frac{3}{2}]

Ответ:

    [frac{3}{2}]

warning.pngПример №7

Задание

Вычислить предел

    [lim_{xrightarrow 3}frac{x^2-1}{sqrt{x+3}-2}]

Решение

Как и в предыдущих заданиях, подставляем

    [х=3]

и убеждаемся, что имеем дело с неопределённостью вида

    [left[frac{0}{0} right ]]

Порядок действий стандартный. Избавляемся от иррациональности в знаменателе с помощью домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. В данном примере сопряжённое выражение имеет вид –

    [sqrt{x+3}+2]

    [lim_{xrightarrow 3}frac{x^2-1}{sqrt{x+3}-2}cdot frac{sqrt{x+3}+2}{sqrt{x+3}+2}]

Перемножаем знаменатель и сокращаем в числителе и знаменателе

    [(х-1)]

    [lim_{xrightarrow 3}frac{(x^2-1)(sqrt{x+3}+2)}{x+3-4}=lim_{xrightarrow 3}frac{(x-1)(x+1)(sqrt{x+3}+2)}{x-1}]

Подставляем, как и ранее, х=3 и находим ответ:

    [(3+1)(sqrt{3+3}+2)=17,8]

Ответ: 17,8

warning.pngПример №8

Задание

Определить предел функции

    [lim_{xrightarrow infty}(sqrt{x^2-4x}-sqrt{x^2+1})]

Решение

Смотрим на функцию, подставляем

    [xrightarrow infty,]

мы имеем дело с неопределённостью вида:

    [[infty - infty]]

Начинаем работать с функциями, содержащими корень. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение и упрощаем предел:

    [lim_{xrightarrow infty} frac{x^2-4x-(x^2+1)}{sqrt{x^2-4x}+sqrt{x^2+1}}=lim_{xrightarrow infty}frac{x(-4-frac{1}{x})}{x(sqrt{1-frac{4}{x}}+sqrt{1+frac{1}{x}})}]

После преобразований получаем ответ:

    [=frac{-4}{1+1}=-2]

Ответ: -2

warning.pngПример №9

Задание

Решить предел

    [lim_{xrightarrow 3}frac{sqrt{7-x}-2}{x-3}]

Решение:

Подставляя

    [х=3]

в выражение лимита, подтверждаем догадки, что перед нами неопределённость вида

    [left[frac{0}{0} right ]]

Как и раньше, первый шаг – избавиться от иррациональности с помощью домножения числителя и знаменателя на соответствующее сопряженное выражение.

Раскрываем скобки и сокращаем выражения на

    [(х-3)]

    [lim_{xrightarrow 3} frac{(sqrt{7-x}-2)cdot(sqrt{7-x}+2)}{(x-3)cdot(sqrt{7-x}+2)}=lim_{xrightarrow 3} frac{3-x}{(x-3)cdot(sqrt{7-x}+2)}=]

    [lim_{xrightarrow 3} frac{-(x-3)}{(x-3)cdot(sqrt{7-x}+2)}=lim_{xrightarrow 3}frac{-1}{sqrt{7-x}+2}]

Неопределённости

    [left[frac{0}{0} right ]]

больше нет и ничего нам не мешает вычислить пример:

    [lim_{xrightarrow 3}frac{-1}{sqrt{7-x}+2}=frac{-1}{sqrt{7-3}+2}=-frac{1}{sqrt{4}+2}=-frac{1}{4}]

Ответ:

    [- frac{1}{4}]

warning.pngПример №10

Задание

Вычислить предел

    [lim_{xrightarrow 2}frac{sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}]

Решение

Оба лимита числителя и знаменателя равны нулю, значит опять неопределённость вида

    [left[frac{0}{0} right ]]

Находим сопряжённое к числителю и знаменателю число:

    [sqrt[4]{(5x+6)^3}+sqrt[4]{(5x+6)^2}cdot2+sqrt[4]{5x+6}cdot 2^2+2^3 =]

    [=sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^2}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8]

Домножаем на полученное выражение числитель и знаменатель, раскрываем скобки и упрощаем:

    [lim_{xrightarrow 2}frac{sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=]

    [= left | frac{0}{0} right |=]

    [= lim_{xrightarrow 2}frac{sqrt[4]{5x+6}-2)cdot left(sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}{(x^3-8)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}=]

    [=lim_{xrightarrow 2}frac{5x+6-16}{(x^3-8)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}=]

    [= lim_{xrightarrow 2}frac{5x-10}{(x^3-8)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}]

Раскладываем числитель и знаменатель:

    [5x-10=5 cdot (x-2)]

    [x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)]

Вычисляем предел:

    [lim_{xrightarrow 2}frac{5x-10}{(x^3-8)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )} *]

    [* lim_{xrightarrow 2}frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}=lim_{xrightarrow 2}frac{5}{(x^2+2x+4)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}=frac{5}{(2^2+2 cdot 2 +4)cdotleft( sqrt[4]{(5 cdot 2+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5 cdot 2 +6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5 cdot 2+6}+8right )}=frac{5}{384}]

Ответ:

    [frac{5}{384}]

Предел функции

Обратимся сразу к определению.

Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x→a, если, задав некоторое произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε.

Данное определение называют «определением по Коши». В предыдущих пунктах было рассмотрено «определение по Гейне», которое, по сути, тоже является определением предела функций, но на языке последовательностей. Зачем же нужны два различных по формулировке, но идентичных по смыслу определения? Это необходимо для того, чтобы в будущем, при решении задач или доказательстве каких-либо утверждений, опираться на более удобную для обоснования формулировку, ведь компоненты в них все-таки отличаются друг от друга.

Первый замечательный предел

$$ lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 $$

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...