Разложение в ряд Тейлора онлайн

Ряд Тейлора функции в точке. Остаточный член ряда Тейлора в интегральной форме и форме Лагранжа. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Определение ряда Тейлора.

Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:

Описание: sum_{k=0}^infty {f^{(k)} (a) over k!} (x - a)^k

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.

Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x – a типа:

Понятие суммы степенного ряда

Начнем подходить к теме с воспоминаний. Как мы помним, любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image002.gif сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу: razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image004.gif

На уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда мы рассматривали уже не числовые, а функциональные и степенные ряды. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился: razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image006.gif. В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image008.gif. Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ. В частности, суммой ряда razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image006_0000.gif в его области сходимости razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image008_0000.gif является некоторая функция razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image011.gif:

  razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image013.gif

Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image008_0001.gif, вне этого промежутка степенной ряд razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image006_0001.gif будет расходиться.

Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:

razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image015.gif
Область сходимости ряда: razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image017.gif

(По какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).

Теперь вспоминаем школьный график синуса razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image019.gif:
Разложение синуса в степенной ряд сходится к синусу при любом значении х

Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел….

Теперь фишка. Если начертить график бесконечного многочлена razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image023.gif, то получится… та же самая синусоида! То есть, наш степенной ряд razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image025.gif сходится к функции razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image019_0000.gif. Используя признак Даламбера (см. статью Степенные ряды. Область сходимости ряда), легко проверить, что ряд razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image025_0000.gif сходится при любом «икс»: razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image017_0000.gif (собственно, поэтому в таблице разложений и появилась такая запись об области сходимости).

А что значит вообще «сходится»?  По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если я возьму первые три члена ряда razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image027.gif и начерчу график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду. А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда: razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image029.gif и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать (на достаточно длинном промежутке). Чем больше членов ряда – тем лучше приближение. И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image025_0001.gif сходится к функции razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image019_0001.gif при любом значении «икс».

Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса:
razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image031.gif
Область сходимости ряда: razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image033.gif

Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image035.gif  существует и совпадает с графиком арктангенса razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image037.gif только на отрезке razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image039.gif (т.е. в области сходимости ряда):

Разложение арктангенса и его область сходимости

Вне отрезка razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image039_0000.gif разложение арктангенса в ряд razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady_clip_image043.gif расходится, и о графике речи не идёт вообще, поскольку каждое значение бесконечного многочлена бесконечно .

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать две взаимно обратные задачи:

– найти сумму ряда (функцию) по известному разложению;
– разложить функцию в ряд (если это возможно) и найти область сходимости ряда.

Что проще? Конечно же, разложение – с него и начнём. После чего я рекомендую не затягивать и в ближайшие часы-дни (пока свежи воспоминания) потренироваться в нахождении суммы степенного ряда.

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:
taylor38.png
Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х, принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:
taylor39.png
Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток rn(x). Для этого применяют следующие приемы:

  • если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена.
  • если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
  • в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: a<c<x (или x<c<a).

Пример №1. Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Решение. Воспользуемся разложением taylor40.png, где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):
taylor41.png
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
taylor42.png
Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем taylor43.png

Пример №2. Вычислить taylor44.png с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 53 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=53+5.
taylor45.png
taylor-image077.gif
taylor46.png
так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
taylor47.png, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример №3. Вычислить интеграл ∫014sin(x)x с точностью до 10-5.
Решение. Соответствующий неопределенный интеграл taylor48.png не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:
taylor-image082.gif
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:
taylor-image083.giftaylor49.png
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и taylor50.png достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
taylor-image086.gif.

Пример №4. Вычислить интеграл ∫014ex2 с точностью до 0,001.
Решение.
taylor-image088.giftaylor-image089.gif. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
taylor51.png&approx;0.0001<0.001. Следовательно, taylor-image092.gif.

Степенные ряды в форме рядов Тейлора и Маклорена

Степенные ряды и, в частности, ряды Тейлора являются одним из видов функциональных рядов.

Степенной ряд в общем виде записывается как:

a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)n+…=∑k=0∞ak(x−x0)ka_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ldots+a_n(x-x_0)^n+ldots=sumlimits_{k=0}^{infty} a_k(x-x_0)^ka0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n+=k=0ak(xx0)k

где a0,a1,…,an,…a_0, a_1, ldots, a_n, ldotsa0,a1,,an, – постоянные, коэффициенты ряда,

x0x_0x0 – центр интервала сходимости ряда ∣x−x0∣<R|x-x_0|<Rxx0<R,

RRR – радиус сходимости, когда для частичных сумм Sn(x)S_n(x)Sn(x) существует предел, сумма ряда S(x)S(x)S(x):

Sn(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+…+an(x−x0)n,lim⁡n→∞Sn(x)=S(x)S_n(x)= a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ldots+a_n(x-x_0)^n, quad limlimits_{n to infty } S_n (x) = S (x)Sn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n,nlimSn(x)=S(x)

Возьмем функцию действительной переменной f(x)f(x)f(x), которая является бесконечно дифференцируемой в точке x0x_0x0. Такую функцию можно разложить в степенной ряд следующего вида:

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)kf(x)=f(x_0)+dfrac{f{‘}(x_0)}{1!}(x-x_0) +dfrac{f{”}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^kf(x)=f(x0)+1!f(x0)(xx0)+2!f(x0)(xx0)2++n!f(n)(x0)(xx0)n+=k=0k!f(k)(x0)(xx0)k

Этот ряд по степеням двучлена (x−x0)(x-x_0)(xx0) называют рядом Тейлора.

В случае x0=0x_0=0x0=0 полученный степенной ряд:

f(x)=f(0)+f′(0)1!x+f′′(0)2!(x−x0)2+…+f(n)(x0)n!(x−x0)n+…=∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)kf(x)=f(0)+dfrac{f{‘}( 0)}{1!} x +dfrac{f{”}(0)}{2!}(x-x_0)^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^kf(x)=f(0)+1!f(0)x+2!f(0)(xx0)2++n!f(n)(x0)(xx0)n+=k=0k!f(k)(x0)(xx0)k

называют рядом Маклорена.

Ряд Тейлора можно записать в другом виде. Полагая:

x−x0=t,f(x)=f(x0+t)=g(t)x-x_0=t, quad f(x)=f(x_0+t)=g(t)xx0=t,f(x)=f(x0+t)=g(t)

ряд Тейлора

f(x)=f(x0+t)=f(0)+f′(x0)1!t+f′′(x0)2!t2+…+f(n)(x0)n!tn+…=∑k=0∞f(k)(x0)k!tkf(x)=f(x_0+t)=f(0)+dfrac{f{‘}(x_ 0)}{1!} t +dfrac{f{”}(x_0)}{2!}t^2 +ldots+dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}t^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}t^kf(x)=f(x0+t)=f(0)+1!f(x0)t+2!f(x0)t2++n!f(n)(x0)tn+=k=0k!f(k)(x0)tk

сводится к ряду Маклорена:

g(t)=g(0)+g′(0)1!t+…+g(n)(0)n!tn+…=∑k=0∞g(k)(0)k!tkg(t)=g(0)+dfrac{g{‘}( 0)}{1!}t +ldots+dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}t^n +ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} dfrac{g^{(k)}(0)}{k!}t^kg(t)=g(0)+1!g(0)t++n!g(n)(0)tn+=k=0k!g(k)(0)tk

Как и в случае произвольного степенного ряда, ряды Тейлора и Маклорена имеют интервал сходимости.

Пример

Разложим в ряд Тейлора функцию:

f(x)=1xf(x)=dfrac{1}{x}f(x)=x1

в окрестности точки x0=1x_0=1x0=1.

С помощью замены:

x−x0=x−1=tx-x_0=x-1=txx0=x1=t

функция сводится к виду:

f(x)=f(t+1)=11+tf(x)=f(t+1)=dfrac {1}{1+t}f(x)=f(t+1)=1+t1

Полученное выражение при ∣t∣<1|t|<1t<1 является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем (−t)(-t)(t), и ряд записывается в виде:

11+t=1−t+t2−t3+…+(−1)ntn+…=∑k=0∞(−1)ktkdfrac {1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+ldots+(-1)^{n}t^{n}+ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} (-1)^{k}t^{k}1+t1=1t+t2t3++(1)ntn+=k=0(1)ktk

Возвращаясь к переменной xxx, получаем разложение по степеням двучлена (x−1)(x-1)(x1):

1x=1−(x−1)+(x−1)2−(x−1)3+…+(−1)n(x−1)n+…=∑k=0∞(−1)k(x−1)k,∣x−1∣<1dfrac {1}{x}=1-(x-1)+ (x-1)^2-(x-1)^3+ldots+(-1)^{n}(x-1)^{n}+ldots =sumlimits_{k=0}^{infty} (-1)^{k}(x-1)^{k}, quad |x-1|<1x1=1(x1)+(x1)2(x1)3++(1)n(x1)n+=k=0(1)k(x1)k,x1<1

Разложение синуса в ряд Тейлора.

Функция синуса раскладывается в бесконечный ряд Тейлора.

$sin(x)=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+{frac {x^{9}}{9!}}-cdots $

Понятно, что бесконечный ряд мы посчитать не можем, кроме случаев, когда есть аналитическая формула бесконечной суммы. Но это не наш случай))) Предположим, что мы хотим посчитать синус в интервале

$[0, frac{pi}{2}]$

. Более подробно работу с интервалами обсудим в части 3. Зная, что

$sin(frac{pi}{2})=1$

оценим найдём первый член который можно отбросить исходя из условия, что

$frac{(pi/2)^n}{n!}<e$

, где

$e$

это разница между числом 1 и наименьшем числом, которое больше 1. Грубо говоря это последний бит мантиссы (

wiki

). Решить данное уравнение проще перебором. Для

$e approx 2.22times10^{-16}$

. У меня получилось

$n=23$

уже можно отбросить. Правильный выбор количества слагаемых будет обсужден в одной из следующей частей, поэтому на сегодня «перестрахуемся» и возьмём слагаемые до

$n=25$

включительно.

Последнее слагаемое приблизительно в 10000 раз меньше, чем

$e$

.

Другие полезные разделы:

Неопределенный интеграл онлайн
Решение дифференциальных уравнений онлайн
Решение систем линейных уравнений онлайн
Определитель матрицы онлайн

Применяемые свойства о малого

Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).

Далее m и n – натуральные числа, .
;
;
, если ;
;
;
;
, где ;
, где c ≠ 0 – постоянная;
.

Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
, где .

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.

;
;
,
где ;
;
;
,
где – числа Бернулли: ,   ;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.

Ряды Маклорена некоторых функций.

1. Экспонента: Описание: mathrm{e}^{x} = 1 + frac{x}{1!} + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{x^n}{n!}, xinmathbb{C},

2. Натуральный логарифм:

Описание: ln(1+x) = x - frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} - cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} =  sum^{infin}_{n=1} frac{(- 1)^{n-1}x^n}{n},

3. Биномиальное разложение: Описание: (1+x)^alpha  = 1+sum^{infin}_{n=1} {alpha choose n} x^n,для всех  |x|<1 и всех комплексных α, где:

Описание: {alphachoose n} = prod_{k=1}^n frac{alpha-k+1}k = frac{alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)}{n!}!,

  • Квадратный корень:

Описание: sqrt{1+x} = 1 + frac{x}{2} - frac{x^2}{8} + frac{x^3}{16} - cdots = sum_{n=0}^infty frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n, для всех |x|<1,

  • Описание: frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + cdots = sum^{infin}_{n=0} x^n, для всех |x|<1,

4. Тригонометрические функции:

  • Синус: Описание: sin x =  x - frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} - cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}, xinmathbb{C},
  • Косинус: Описание: cos x =  1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}, xinmathbb{C},
  • Арксинус: Описание: arcsin x = x + frac{x^3}{6} + frac{3x^5}{40} + cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для всех |x|<1,
  • Арккосинус: Описание: arccos x ={piover 2}-arcsin x={piover 2}- sum^{infin}_{n=0} frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} для всех |x|<1,
  • Арктангенс: Описание: operatorname{arctg} x = x - frac{x^3}{3}+ frac{x^5}{5} - cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} для всех |x|<1,

5. Гиперболические функции:

  • Описание: operatorname{sh}, left(x ight) = x + frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} + cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, xinmathbb{C},
  • Описание: operatorname{ch}, left(x ight) = 1 + frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} + cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{(2n)!} x^{2n}, xinmathbb{C},
  • Описание: operatorname{th},left(x ight) = x - frac{x^3}{3} + frac{2 x^5}{15} - cdots = sum^{infin}_{n=1} frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} для всех |x|<1,
  • Описание: operatorname{arth}, left(x ight) = x + frac{x^3}{3} + frac{x^5}{5} + cdots = sum^{infin}_{n=0} frac{1}{2n+1} x^{2n+1} для всех |x|<1,
Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...