Преобразование фурье в маткаде

Mathcad содержит функции для выполнения быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) и его обращения. В Mathcad PLUS имеется также одномерное

Дискретное преобразование Фурье

В предыдущем разделе рассказывалось о возможностях символьного процессора Mathcad, позволяющего осуществить аналитическое преобразование Фурье функции, заданной формулой. Между тем огромный пласт задач вычислительной математики связан с расчетом интегралов Фурье для функций, либо заданных таблично (например, представляющих собой результаты какого-либо эксперимента), либо функций, проинтегрировать которые аналитически не удается. В данном случае вместо символьных преобразований приходится применять численные методы интегрирования, связанные с дискретизацией подынтегральной функции и называемые потому дискретным Фурье-преобразованием.

В численном процессоре Mathcad дискретное преобразование Фурье реализовано при помощи популярнейшего алгоритма быстрого преобразования Фурье (сокращенно БПФ). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся только нормировками:

  • fft(y) – вектор прямого преобразования Фурье;
  • FFT (у) – вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
  • ifft (w) – вектор обратного преобразования Фурье;
  • IFFT (w) – вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке:
    • у – вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
    • w – вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

Внимание!
Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2n элементов (n – целое число). Результатом является вектор с 1+2n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.

В листинге 4.14 показан пример расчета Фурье-спектра для модельной функции f (x), представляющей собой сумму двух синусоид разной амплитуды (верхний график на рис. 4.10). Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных уi равен h. В предпоследней строке листинга корректно определяются соответствующие значения частот W, а в последней применяется встроенная функция FFT. Полученный график Фурье-спектра показан на рис. 4.10 (снизу). Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде его модуля, поскольку сам спектр, как уже отмечалось, является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в начале листинга.

Примечание
Более подробную информацию о свойствах и практике применения Фурье-преобразования вы найдете в главе 14.

Листинг 4.14. Дискретное преобразование Фурье (алгоритм БПФ) модельного сигнала:

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Интегрирование › Дискретное преобразование Фурье

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Интегрирование › Дискретное преобразование Фурье
Рис. 4.10. Модельная функция и ее преобразование Фурье (продолжение листинга 4.14)

3.6. Быстрое преобразование Фурье

Рассмотрим функции математических пакетов Mathcad и Mathematica которые позволят нам производить прямое и обратное преобразования Фурье для рассматриваемого примера реального сигнала спада свободной индукции ЯМР. Для начала зададим периодическую функцию в виде суперпозиции синусов:

14616-nomer-3d64d0a.gif

где:

14616-nomer-23aa8f70.gif

,

14616-nomer-14f8558e.gif

, и

14616-nomer-3ee4c85e.gif

равны 1, 2 и 3, а соответствующие амплитуды 1, 2 и 1 соответственно.

Для применения БПФ в среде Mathcad требуется представить данные в виде векторов времени и значений функции от времени. Число счетных точек N=1024 (число N должно быть целой степенью двойки: 128, 256, 512 и т. п.), временной промежуток τ=10 и шаг изменения времени dt=τ/N. Теперь определяем массив k=0..N и вектор времени t

k

=k*dt (рис. 26) [Error: Reference source not found].

14616-nomer-b6bbace.png

14616-nomer-b6bbace.png

14616-nomer-b6bbace.png

14616-nomer-b6bbace.png

Рис.26 – Сумма трех синусоид с разными частотами и амплитудами

(построение в Mathcad )

В среде Mathcad быстрое преобразование Фурье осуществляют функции fft, и cfft, вектор ответов вызывается командой, например, F:=fft(y). Сейчас наш вектор

F

является функцией от точки счета. Для его перевода в функцию от частоты введем дополнительный вектор

14616-nomer-m677375e5.gif

и построим для наглядности график (Рис. 27). Получились три пика при частотах, близких к 1, 2 и 3 и с соотношением амплитуд 1:2:1, как и было заданно.

14616-nomer-69ed1535.png
Рис. 27 – Прямое преобразование Фурье в Mathcad

Для того чтобы убедиться в справедливости полученные результатов (Рис. 26) можно воспользоваться обратным преобразование Фурье. Для этого воспользуемся встроенной функцией ifft (Inverse Fast Fourier Transform). После данной процедуры должна получиться зависимость, идентичная той, которая представлена на рис. 28.

Рис. 28 – Обратное преобразование Фурье в MathCad

Данные процедуры можно также проделать и в пакете Mathematica. Для начала определим переменную y[t] в виде суммы трех синусов и построим график этой зависимости (рис. 29):

Рис. 29 – Сумма трех синусоид с разными частотами и амплитудами

(построение в Mathematica)

Соответствующей функцией для прямого преобразования Фурье является

FourierTransform

. Однако, в отличие от функции fft пакета Mathcad, выходным параметром функции

FourierTransform

является аналитическое решение выражения:

Рис. 30 – Прямое преобразование Фурье в Mathematica

Как видно из рисунка 30 аналитическое решение содержит дельта функцию (DiracDelta), которую Mathematica не может отобразить графически. Чтобы убедиться в справедливости выражения, сделаем обратное преобразование Фурье от полученного аналитического выражения. Для этого воспользуемся функцией InverseFourierTransform, представив обратное преобразование Фурье графически, и убедимся в идентичности графика на рисунке 31 и на рисунке 29. Данная функция также позволяет получить аналитическое выражение преобразуемой функции:

Рис. 31 – Обратное преобразование Фурье в Mathematica

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Информационные технологии представляющие собой современные средства обработки и визуализации получаемой информации, становятся неотъемлемым инструментарием исследователя любой области современного знания. Математические пакеты, представляющие собой удобные и многофункциональные прикладные программы, помогают реализовывать численные эксперименты, решать сложные системы уравнений, получаемые при описании химико-физических процессов, визуализировать полученные данные.

При выполнении выпускной работы проведен анализ возможности применения математических пакетов Mathcad 12.0 и Mathematica 5.0 при решении наиболее типичных химических задач, требующих математической обработки результатов. С помощью указанных приложений были разобраны примеры решения простых функциональных уравнений, трансцендентных и дифференциальных уравнений для расчета скоростей изменения концентраций компонентов реакционных сред, а также рассмотрены возможности математических пакетов в проведении прямого и обратного Фурье преобразования.

В результате проделанной работы можно заключить, что математические пакеты Mathcad и Mathematica эффективно справляются с поставленными задачами интегрирования, численного решения простых и дифференциальных уравнений. Стоит отметить, что для получения результата в аналитическом виде, предпочтительнее использовать Mathematica, поскольку Mathcad проводит решение численными методами, в то время как осуществление Фурье преобразований для получения спектров ядерного магнитного резонанса, Mathcad, наоборот, более эффективен при построении графических решений. В заключение следует добавить, что пользовательский интерфейс среды Mathcad несколько удобен по сравнению с Mathematica, однако выбор программы, конечно, остается за исследователем.

Maple V 8

Mathcad 4, 5, 8, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 39

Mathematica 4, 5, 8, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 23, 25, 26, 27, 28, 39

Maple V 4

метод Булирша-Штера 22

метод Рунге-Кутты 10

метод Эйлера 9

Метод Эйлера 9

метода Булирша-Штера 10

преобразование Фурье 11, 25, 26, 27

ряд Фурье 11

Система Maple V 8

ЭВМ 4, 7, 8

ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ В ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ

ссылка скрыта

На сайте можно найти практически все статьи по научной тематике, однако полные версии статей в основном платные.

ссылка скрыта

Данный сайт аналогичен предыдущему, однако упор тут делается на медико-биологические журналы. Опять таки доступ только к abstracts, но иногда открывают и полный доступ.

ссылка скрыта

Сайт содержит большую электронную базу данных протоколов лабораторных исследований в биомедицинских науках и науках о жизни. Для получения полных версий журналов необходима подписка.

ссылка скрыта

Сайт создан доцентом химического факультета БГУ и представляет собой каталог, в котором собрана информация об известных нам химических научных журналах, предоставляющих бесплатный доступ к полным текстам опубликованных статей.

ссылка скрыта

Российская электронная библиотека, где можно найти множество статей, но в основном российских изданий.

ссылка скрыта

Химическая информационная сеть (Россия). Электронные версии журналов, базы данных, олимпиады и конкурсы научных работ, и т.д. и т.п.

ссылка скрыта

Ресурс онлайн для пациентов, исследователей и педагогов с интересом в атеросклерозе, дислипидемии и обменом липидов.

ссылка скрыта

На сайте представлены документы, содержащие информацию и опыт, полученные в шотландском научно-исследовательском институте (Scottish Crop Research Institute):определения, структуры, состав, возникновение, биохимия и функции большинства типов жирных кислот и липидов.

ссылка скрыта

Портал одного из крупнейших в мире поставщиков химических реактивов и лабораторного оборудования. Огромное множество соединений, предлагаемых на продажу.

emweb.org/

Этот сайт предоставляет собой виртуальную библиотеку в областях биохимии, молекулярной и клеточной биологии. В то время как многие из ресурсов, перечисленных на этих страницах, разработаны для ученых, однако есть ресурсы, которые не требуют такого уровня подготовки, они помечены как Beginner’s Level.

ссылка скрыта

Сайт RSC (Royal Society of Chemistry) – самой большой организации в Европе, продвигающей химические науки. Здесь представлена информация в области химии для учителей, лекторов, студентов, которая включает в себя библиотеку, большой диапозон журналов, книг, баз данных, а также конференции и события в мире.

ссылка скрыта

Официальный сайт Международного Союза Теоретической и прикладной Химии (International Union of Pure and Applied Chemistry) – организации, которая поддерживает мировое взаимодействие в химической науке, и признана в качестве мировой авторитет по таким темам как: химическая номенклатура, терминология, стандартные приемы измерения и атомные массы. 1200 химиков по всему миру включены в работу Союза по 8 направлениям. Здесь можно найти руководства или рекомендации по выполнению тех или иных операций в химии, по терминологии и классификации химических соединений. Организацией ежемесячно издается журнал «Pure And Applied Chemistry»; на сайте бесплатно доступны статьи из этого журнала. Поиск информации осуществляется по ключевым словам, а также авторам статьи, ее названию и году издания.

ВОПРОСЫ К ТЕСТАМ ПО ИТ

  1. Тег geum.ru предназначен:
    1. для отображения на веб-странице изображений в графическом формате GIF, JPEG или PNG
    2. для отображения на веб-странице изображений только в графическом формате GIF
    3. для отображения на веб-странице изображений только в графическом формате JPEG
    4. для отображения на веб-странице изображений только в графическом формате PNG

(Правильный ответ а).

Тег geum.ru предназначен:

Для отображения на веб-странице изображений в графическом формате GIF, JPEG или PNG

для отображения на веб-странице изображений только в графическом формате GIF.

для отображения на веб-странице изображений только в графическом формате JPEG

для отображения на веб-странице изображений только в графическом формате PNG

  1. С помощью какой программы можно рисовать структуры химических соединений:
    1. ссылка скрыта
    2. ссылка скрыта
    3. ссылка скрыта Draw
    4. Paint

(Правильный ответ c).

С помощью какой программы можно рисовать структуры химических соединений:

ссылка скрыта

MathType

ISIS Draw

Paint

ДЕЙСТВУЮЩИЙ ЛИЧНЫЙ САЙТ В WWW

ссылка скрыта

ГРАФ НАУЧНЫХ ИНТЕРЕСОВ

магистранта Фролова А.Н. химический факультет.

Специальность “Химия”

Смежные специальностиь
02.00.03 – органическая химия

  1. .Органический синтез.

2.Качественный и количественный анализ органических веществ и установление их строения.

02.00.08 –химия элементорганических соединений

1.Синтез элементорганических соединений

Основная специальность
02.00.06 – высокомолекулярные соединения

  1. Синтез, анализ, исследование структуры, свойств и превращений высокомолекулярных соединений.

Сопутствующие специальности

02.00.02 – аналитическая химия
1. Выявление и исследование химических и физических свойств веществ, используемых для их разделения и концентрирования.

02.00.04 – физическая химия
1.Исследование зависимостей свойств химических систем от состава и структуры.

2.Разработка общих принципов и методов изучения процесса изменения состояния химических систем во времени. Исследование закономерностей процессов изменения структуры и состава химических систем (кинетика и механизм химических реакций, каталитических процессов).

ПРЕЗЕНТАЦИЯ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ

Презентацию, выполненную в Power Point в цветном варианте, можно посмотреть по следующей ссылке:

ссылка скрыта

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ

1. Воробьев Е.А. Введение в систему символьных, графических и численных вычислений “Математика-5″ / М.: Диалог-МИФИ”, 2005. – 368 с.

2. Дъяконов В.П. “Mathematica 4.1/4.2/5.0 в математических и научно-технических расчетах” / M.: СОЛОН-Пресс, 2004 г. – 696 с.

3. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа: В 2-х т. / М.: Физматлит, 2002. – 856 с.

4. Самарский А. А. Введение в численные методы. / СПб.: Лань, 2000. – 736 с.

5. А.Т.Лебедев Масс-спектрометрия в органической химии / М:: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. – 493 с.

6. Васильев A.H. Mathcad 13 на примерах / С-Пб.: БХВ-Петербург, 2006. – 512 с.

70. Ивановский Р.И. Компьютерные технологии в науке и образовании. Практика применения систем MathCAD / М.: “Высшая школа”, 2003.- 431с.

8. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. / М.: Наука, 1986. – 288 с.

9. Солодов А.П., Очков В.Ф. Mathcad. Дифференциальные модели / М.: МЭИ, 2002. – 239 с.

10. Семенов Н. Н. Цепные реакции. / М.: Наука, 1986. – 535 с.

11. Бенсон С. Основы химической кинетики / М.: Мир, 1964. – 604 с.

12. Коробов В. И. Математические пакеты в химических расчетах: прямая задача химической кинетики. // Exponenta Pro. Математика в приложениях – 2004, № 3-4 – с. 115-121

Преобразование Фурье комплексных данных

Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера “с”.

  • cfft(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье;
  • CFFT(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
  • icfft(y) —вектор обратного комплексного преобразования Фурье;
  • ICFFT(V) — вектор обратного комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
    • у — вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
    • v — вектор данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

Функции действительного преобразования Фурье используют тот факт, что в случае действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля, и выводят только его половину (см. выше разд. “Преобразование Фурье действительных данных” этой главы). Поэтому, в частности, по 128 действительным данным получалось всего 65 точек спектра Фурье. Если к тем же данным применить функцию комплексного преобразования Фурье (рис. 15.26), то получится вектор из 128 элементов. Сравнивая рис. 15.25 и 15.26, можно уяснить соответствие между результатами действительного и комплексного Фурье-преобразования.

26.gif

Рис. 15.26. Комплексное преобразование Фурье (продолжение листинга 15.20)

Двумерное преобразование Фурье

В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.

Листинг 15.21. Двумерное преобразование Фурье

code%2021.gif

27.gif

Рис. 15.27. Данные (слева) и их Фурье-спектр (справа) (листинг 15.21)

Знаете ли Вы,

что, как не тужатся релятивисты, CMB (космическое микроволновое излучение) – прямое доказательство существования эфира, системы абсолютного отсчета в космосе, и, следовательно, опровержение Пуанкаре-эйнштейновского релятивизма, утверждающего, что все ИСО равноправны, а эфира нет. Это фоновое излучение пространства имеет свою абсолютную систему отсчета, а значит никакого релятивизма быть не может. Подробнее читайте в

FAQ по эфирной физике

.

Двумерное преобразование Фурье

В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.

Листинг 15.21. Двумерное преобразование Фурье

27.gif

Рис. 15.27. Данные (слева) и их Фурье-спектр (справа) (листинг 15.21)

Понятие же “физического вакуума” в релятивистской квантовой теории поля подразумевает, что во-первых, он не имеет физической природы, в нем лишь виртуальные частицы у которых нет физической системы отсчета, это “фантомы”, во-вторых, “физический вакуум” – это наинизшее состояние поля, “нуль-точка”, что противоречит реальным фактам, так как, на самом деле, вся энергия материи содержится в эфире и нет иной энергии и иного носителя полей и вещества кроме самого эфира.

В отличие от лукавого понятия “физический вакуум”, как бы совместимого с релятивизмом, понятие “эфир” подразумевает наличие базового уровня всей физической материи, имеющего как собственную систему отсчета (обнаруживаемую экспериментально, например, через фоновое космичекое излучение, – тепловое излучение самого эфира), так и являющимся носителем 100% энергии вселенной, а не “нуль-точкой” или “остаточными”, “нулевыми колебаниями пространства”. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМАeinst3.gif
Рыцари теории эфира
01.10.2019 – 05:20: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ – Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]69vJGqDENq4[/Youtube][/center]
[center]14:36[/center]
Osievskii Global News
29 сент. Отправлено 05:20, 01.10.2019 г.’ target=_top>Просвещение от Вячеслава Осиевского – Карим_Хайдаров.
30.09.2019 – 12:51: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ – Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Ok]376309070[/Ok][/center]
[center]11:03[/center] Отправлено 12:51, 30.09.2019 г.’ target=_top>Просвещение от Дэйвида Дюка – Карим_Хайдаров.
30.09.2019 – 11:53: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ – Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]VVQv1EzDTtY[/Youtube][/center]
[center]10:43[/center]

интервью Раввина Борода https://cursorinfo.co.il/all-news/rav.
мой телеграмм https://t.me/peshekhonovandrei
мой твиттер https://twitter.com/Andrey54708595
мой инстаграм https://www.instagram.com/andreipeshekhonow/

[b]Мой комментарий:
Андрей спрашивает: Краснодарская синагога – это что, военный объект?
– Да, военный, потому что имеет разрешение от Росатома на манипуляции с радиоактивными веществами, а также иными веществами, опасными в отношении массового поражения. Именно это было выявлено группой краснодарцев во главе с Мариной Мелиховой.

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...