Пентагон (фигура) – это… Что такое Пентагон (фигура)?

Правильный пятиугольник Правильный пятиугольник или пентагон (греч. πενταγωνον) геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами. Содержание 1

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

Рисунок пятиугольника

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Рисунок пятиугольника 1
Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

Рисунок пятиугольника 3

Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.

Рисунок пятиугольника 4
И отрезок DB. Картинка внизу.

Рисунок пятиугольника 5

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Рисунок пятиугольника 6
Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.

Рисунок пятиугольника 7
Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

Рисунок пятиугольника 8

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

Рисунок пятиугольника 9
На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.

Рисунок пятиугольника 10

Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.

Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника,  разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.

Свойства[править | править код]

  • У правильного пятиугольника угол равен

α = ( n − 2 ) n ⋅ 180 ∘ = 3 5 ⋅ 180 ∘ = 108 ∘ {displaystyle alpha ={frac {(n-2)}{n}}cdot 180^{circ }={frac {3}{5}}cdot 180^{circ }=108^{circ }} alpha ={frac  {(n-2)}{n}}cdot 180^{circ }={frac  {3}{5}}cdot 180^{circ }=108^{circ }

  • Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

S = 5 4 t 2 c t g π 5 = 5 5 + 2 5 4 t 2 = 5 12 R d = 5 2 R 2 sin ⁡ 2 π 5 = 5 r 2 t g π 5 {displaystyle S={frac {5}{4}}t^{2}mathop {mathrm {ctg} } ,{frac {pi }{5}}={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={frac {5}{12}}Rd={frac {5}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{5}}=5r^{2}mathop {mathrm {tg} } ,{frac {pi }{5}}} S={frac  {5}{4}}t^{2}{mathop  {{mathrm  {ctg}}}},{frac  {pi }{5}}={frac  {{sqrt  5}{sqrt  {5+2{sqrt  {5}}}}}{4}}t^{2}={frac  {5}{12}}Rd={frac  {5}{2}}R^{2}sin {frac  {2pi }{5}}=5r^{2}{mathop  {{mathrm  {tg}}}},{frac  {pi }{5}},где R {displaystyle R} R — радиус описанной окружности, r {displaystyle r} r — радиус вписанной окружности, d {displaystyle d} d — диагональ, t {displaystyle t} t — сторона.

  • Высота правильного пятиугольника:

h = tg 72 ∘ 2 t = 5 + 2 5 2 t ≈ 1,539 t {displaystyle h={frac {operatorname {tg} ,72^{circ }}{2}}t={frac {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}{2}}tapprox 1{,}539t} {displaystyle h={frac {operatorname {tg} ,72^{circ }}{2}}t={frac {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}{2}}tapprox 1{,}539t}

  • Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
  • Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению, то есть числу 1 + 5 2 {displaystyle {frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} {frac  {1+{sqrt  {5}}}{2}}.

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

  • Сторона:

t = R 5 − 5 2 ≈ 1,175 57   R {displaystyle t=R{sqrt {frac {5-{sqrt {5}}}{2}}}approx 1{,}17557~R} {displaystyle t=R{sqrt {frac {5-{sqrt {5}}}{2}}}approx 1{,}17557~R}

  • Радиус вписанной окружности:

r = 5 5 + 2 5 10 t ≈ 0,688 191   t {displaystyle r={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{10}}tapprox 0{,}688191~t} {displaystyle r={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{10}}tapprox 0{,}688191~t}

  • Радиус описанной окружности:

R = 1 0 5 + 5 10 t = ( 5 − 1 )   r ≈ 0,850 651   t ≈ 1,236 07   r {displaystyle R={frac {{sqrt {1}}0{sqrt {5+{sqrt {5}}}}}{10}}t=({sqrt {5}}-1)~rapprox 0{,}850651~tapprox 1{,}23607~r} {displaystyle R={frac {{sqrt {1}}0{sqrt {5+{sqrt {5}}}}}{10}}t=({sqrt {5}}-1)~rapprox 0{,}850651~tapprox 1{,}23607~r}

  • Диагональ:

d = Φ 5 R = 5 + 1 2 t ≈ 1,902   R ≈ 1,618   t {displaystyle d={sqrt {Phi {sqrt {5}}}}R={frac {{sqrt {5}}+1}{2}}tapprox 1{,}902~Rapprox 1{,}618~t} {displaystyle d={sqrt {Phi {sqrt {5}}}}R={frac {{sqrt {5}}+1}{2}}tapprox 1{,}902~Rapprox 1{,}618~t}

  • Площадь:

S = 5 5 + 2 5 4 t 2 ≈ 1,720 48   t 2 {displaystyle S={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}approx 1{,}72048~t^{2}} {displaystyle S={frac {{sqrt {5}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}approx 1{,}72048~t^{2}}

  • Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
  • Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

S s = Φ 4 = 3 Φ + 2 = 3 5 + 7 2 ≈ 6,854 1 {displaystyle {frac {S}{s}}=Phi ^{4}=3Phi +2={frac {3{sqrt {5}}+7}{2}}approx 6{,}8541} {displaystyle {frac {S}{s}}=Phi ^{4}=3Phi +2={frac {3{sqrt {5}}+7}{2}}approx 6{,}8541}где Φ {displaystyle Phi } Phi — отношение золотого сечения.

Как нарисовать пятиугольник

Шаг 1

Провести прямую a.

Как нарисовать пятиугольник

Как нарисовать пятиугольник. Шаг 1

Шаг 2

Отложить на прямой a отрезок АВ произвольной длины.

Как нарисовать пятиугольник

Как нарисовать пятиугольник. Шаг 2

Как нарисовать пятиугольник

Как нарисовать правильный пятиугольник. Шаг 3

Как нарисовать пятиугольник

Построение правильного пятиугольника. Шаг 4

Шаг 5

С помощью транспортира, с вершиной в точке В, построить угол, равный 108°.

Как нарисовать пятиугольник

Построение правильного пятиугольника. Шаг 5

Шаг 6

На построенной стороне угла, построить отрезок BC, равный длине отрезка АВ.

Как нарисовать пятиугольник

Построение правильного пятиугольника. Шаг 6

Шаг 7

Построить окружность, радиуса BC с центром в точке С.

Как нарисовать пятиугольник

Построение правильного пятиугольника. Шаг 7

Шаг 8

Построить окружность, радиуса АD с центром в точке D.

Как нарисовать пятиугольник

Построение правильного пятиугольника. Шаг 8

Шаг 9

Точку пересечения окружностей обозначить буквой Е.

Как нарисовать пятиугольник

Построение правильного пятиугольника. Шаг 9

Шаг 10

Провести отрезки АВ, BС, CE, ED, DA. Полученный многоугольник ABCDE будет правильным пятиугольников, так как все его стороны и углы будут равны.

Как нарисовать пятиугольник

Построение правильного пятиугольника. Шаг 10

MATHVOX

Вверх

Геометрия.

Помню, как в классе 5-6 ко мне подошел дяденька и попросил сходить с ним до машины. Я не долго думая сказала “сейчас, только шапочку надену” полезла в портфель, достала циркуль и со всей дури всадила ему в ногу и убежала. Это единственный раз, когда мне пригодилась геометрия))

Похожие посты закончились. Возможно, вас заинтересуют другие посты по тегам:

Разновидности звезд

Существует множество вариантов внешнего вида такой фигуры, как звезда.

Еще с древних времен пятиконечная ее разновидность использовалась для начертания пентаграмм. Это объясняется ее свойством, которое позволяет сделать рисунок, не отрывая ручки от бумаги.

Существуют также шестиконечные, хвостатые кометы.

Пять вершин традиционно имеет морская звезда. Такой же формы нередко встречаются изображения рождественского варианта.

В любом случае, чтобы нарисовать пятиконечную звезду поэтапно, необходимо прибегнуть к помощи специальных инструментов, так как изображение от руки вряд ли будет выглядеть симметрично и красиво.

Площадь пятиугольника без самопересечений

Площадь пятиугольника без самопересечений, заданного координатами вершин, определяется по общей для многоугольников формуле.

Получение с помощью полоски бумаги[править | править код]

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

В природе[править | править код]

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 Kпоказали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры.[1]Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская.Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

  • Пятиугольный узел на полоске бумаги

  • Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская

Интересные факты[править | править код]

  • Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
  • Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.
  • Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
  • В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.
  • Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного пятиячейника (4-симплекса).

См. также

  • Золотое сечение
  • Пятиугольник
  • Пентаэдр
  • Пентаграмма
  • Государственный Знак Качества СССР

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое “Пентагон (фигура)” в других словарях:

  • ПЕНТАГОН — (греч., от pente пять, и gonia угол). Геометрическая фигура, окруженная 5 ю сторонами и 5 ю углами: пятиугольник. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПЕНТАГОН греч., от pente, пять, и gonia, угол.… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Пентагон —     (Греч.) От pente пять , и gonia угол ; в геометрии плоская фигура с пятью углами. Источник: Теософский словарь …   Религиозные термины

  • Пентагон-додекаэдр — Пентагондодекаэдр Индексы граней {2 1 0} Тип Неправильный многогранник Грань Неправильный пятиугольник Граней 12 Рёбер 30 Вершин 20 Граней при вершине …   Википедия

  • Пентагон (многоугольник) — Пятиугольник многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы. Сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна 540°. См.также Правильный пятиугольник Звезда (геометрическая фигура) Многоугольники …   Википедия

  • ПЕНТАГОН — (Греч.) От pente пять , и gonia угол ; в геометрии плоская фигура с пятью углами …   Теософский словарь

  • Пентаграмма — Пентаграмма …   Википедия

  • Пентакль — Пентаграмма Пентаграмма (пентальфа, пентакл, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε «пять» и γράμμα «черта, линия») правильный …   Википедия

  • Пентакл — Пентаграмма Пентаграмма (пентальфа, пентакл, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε «пять» и γράμμα «черта, линия») правильный …   Википедия

  • Пифагорейский пентакл — Пентаграмма Пентаграмма (пентальфа, пентакл, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε «пять» и γράμμα «черта, линия») правильный …   Википедия

  • Сатанинская звезда — Пентаграмма Пентаграмма (пентальфа, пентакл, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε «пять» и γράμμα «черта, линия») правильный …   Википедия

См. также[править | править код]

  • Золотое сечение
  • Пятиугольник
  • Пентаэдр
  • Пентаграмма
  • Государственный знак качества СССР

Примечания

  1. Kalbfleisch, J.D.; Kalbfleisch, J.G. & Stanton, R.G. (1970), “A combinatorial problem on convex regions”, Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing, vol. 1, Congressus Numerantium, Baton Rouge, La.: Louisiana State Univ., сс. 180–188 
  2. Harborth, Heiko (1978), “Konvexe Fünfecke in ebenen Punktmengen”, Elem. Math. Т. 33 (5): 116–118 
  3. Плитки Пенроуза

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...