Квадратный трехчлен., калькулятор онлайн, конвертер

Формулы сокращенного умножения в алгебре: квадрат разности, квадрат суммы, куб суммы, куб разности, разность квадратов, разность и сумма кубов чисел.

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax2 + bx + c.

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

ax2 + bx + c = 0

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x1 и x2 следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

a(x − x1)(x − x2)

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

x2 − 8x + 12

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

x2 − 8x + 12 = 0

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 2

Итак, x1 = 6, x2 = 2. Теперь воспользуемся формулой ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). В левой части вместо выражения ax2 + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x2 − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x1 = 6, x2 = 2

x2 − 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

x2 − 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x2 − 8x + 12

(x − 6)(x − 2) = x2 − 6x − 2x + 12 = x2 − 8x + 12

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

2×2 − 14x + 24

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

2×2 − 14x + 24 = 0

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

разложение квадратного трехчлена на множители рис 1

Итак, x1 = 4, x2 = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2×2 − 14x + 24 к выражению a(x − x1)(x − x2), где вместо переменных a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2

2×2 − 14x + 24 = 2(x − 4)(x − 3)

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2×2 − 14x + 24

2(x − 4)(x − 3) = 2(x2 − 4x −3x + 12) = 2(x2 − 7x + 12) = 2×2 − 14x + 24

Корень квадратного трехчлена:

Значение переменной (x), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.

Пример:
У трехчлена (x^2-2x+1) корень (1), потому что (1^2-2·1+1=0)
У трехчлена (x^2+2x-3) корни (1) и (-3), потому что (1^2+2-3=0) и ((-3)^2-6-3=9-9=0)

Например:  если нужно найти корни для квадратного трехчлена (x^2-2x+1), приравняем его к нулю и решим уравнение (x^2-2x+1=0).

(D=4-4cdot1=0)
(x=frac{2-0}{2}=frac{2}{2}=1)

Готово. Корень равен (1).

Понятие и определение

Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.

Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.

Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом из-за 3-х составных слагаемых.

Некоторые другие виды многочленов:

  • линейный двучлен (6x+8),
  • кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).

Способ первый: вынесение за скобки

Раскладываем многочлены на множители

Самый, наверное, всенародно любимый способ раскладывать многочлены на множители. Просто, легко, понятно, думать почти не надо.

Чтобы способ работал, нам нужно, собственно, наличие этих самых общих множителей:

16x³-4x² = 4x²(4x-1);

12k+3px²+3 = 3(4k+px²+1);

17-12x⁴ ≠ а вот тут этот номер не пройдёт, потому что общих множителей здесь нет.

Если они есть — выносим их за скобку, а в скобках оставляем то, что не выносится.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n, имеющие вид Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью an и n линейных множителей (x-xi) , i=1, 2, …, n, тогда Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x1) , где xi , i=1, 2, …, n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа xi ,i=1, 2, …, n и для комплексных коэффициентов ak ,k=0, 1, 2, …, n. Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида ak, k=0, 1, 2, …, n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x1  и x2 , относящиеся к многочлену вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x3)x2+px+q , где x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Калькуляторы по алгебре

Решения, подсказки и учебник линейной алгебры онлайн (все калькуляторы по алгебре). Калькуляторы по алгебре
  

Способ второй: ФСУ

Эти буквы вы должны знать, как Отче наш.

И я говорю не об аббревиатуре формул сокращённого умножения, я о самих формулах.

Это — ваша главная предэкзаменационная молитва, и вы должны быть готовы, что вас разбудят в три часа ночи, а вы без запинки, строча, как пулемётчица Анка в сторону врагов народа, назовёте их.

Все.

До единой:

Источник: https://mathvox.ru/

Источник: https://mathvox.ru/

Хочу обратить внимание на то, что формулы “сумма квадратов” нет в данном списке. Будьте аккуратны и не выдумывайте свои ФСУ.

Также хочу продемонстрировать решение двух примеров с использованием этих формул — относительно простенького и нормального:

Посмотрите на квадратную и круглую обводку — то, что из себя представляло начальное выражение, и то, во что оно превратилось с помощью формул

Посмотрите на квадратную и круглую обводку — то, что из себя представляло начальное выражение, и то, во что оно превратилось с помощью формул

Как видите, вещь нужная и жизненно необходимая, если вам нужно срочно упростить гигантский пример.

Но что делать, когда ФСУ рядом и не пахнет? Неужели выхода нет?

Предупреждения

  • Хотя это и верно для квадратных трехчленов, другие трехчлены не всегда разлагаются на произведение двух двучленов. Например: x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2)(x2 – 5x + 23).

Алгебра 6,7,8,9,10,11 класс, ЕГЭ, ГИА

Основная информация по курсу алгебры для обучения и подготовки в экзаменам, ГВЭ, ЕГЭ, ОГЭ, ГИА
Алгебра 6,7,8,9,10,11 класс, ЕГЭ, ГИА
  

Об этой статье

Эту страницу просматривали 157 447 раз.

Арифметический корень.

Для того чтобы понять, что такое арифметический корень решим простую задачу по нахождению стороны квадрата площадь которого равна 9 см 2 .
Арифметический корень.

Литература

  • М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.
Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...