Комплексные числа – формы комплексных чисел и действия над комплексными числами. Примеры решения задач по высшей математике онлайн

В данной теме описано, как найти сумму и разность двух комплексных чисел. Приведены правила и примеры решения задач, для каждого вида операции

Сложение и умножение комплексных чисел

Комплексное число a можно задать парой действительных чисел (его координатами) . Два комплексных числа a и равны тогда и только тогда, когда и .

В чём геометрический смысл сложения комплексных чисел? На плоскости, где каждое комплексное число отображено как вектор, идущий от начала коодинат 0 до точки , сложение комплексных чисел сводится к сложению соответствующих векторов по правилу параллелограмма (рисунок перед примером).

Поэтому сложение двух комплексных чисел a и b в координатной форме может быть представлено следующей формулой:

.

Вычитание же комплексного числа из комплексного числа может быть представлено формулой .

А для того, чтобы произвести алгебраические операции сложения и вычитания комплексных чисел, следует использовать следующие формулы:

.

.

То есть, при сложении комплексных чисел складываются отдельно их действительные части и отдельно их мнимые части. Аналогичное правило действует и для вычитания.

При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, получено следующее правило: модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, то есть аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей. В свою очередь модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, делённому на модуль делителя, то есть аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя из аргумента делимого.

Из этого легко понять геометрический смысл умножения и деления комплексных чисел. При умножении получается точка, изображающая произведение числа на число , если вектор, идущий от 0 к , повернём против часовой стрелки на угол , являющийся аргументом числа , а затем растянем этот вектор в раз. При делении это будет сжатием, а не растяжением.

Всё описанное выше проиллюстрировано на рисунке ниже.

При умножении двух комплексных чисел получается выражение

Пример 1. Сложить и умножить комплексные числа и .

Решение. Для сложения чисел производим следующие вычисления:

Теперь умножаем:

Пример 2. Сложить и умножить комплексные числа и .

Решение. Для сложения чисел производим следующие вычисления:

Теперь умножаем:

Пример 3. Выполнить операцию сложения комплексных чисел и .

Решение. Применяем формулу сложения, не путаем знаки перед мнимой частью второго числа и получаем:

Пример 4. Выполнить операцию вычитания из комплексного числа комплексного числа .

Решение. Применяем формулу вычитания и, опять же, не путаясь в знаках, получаем:

Пример 5. Выполнить операцию умножения комплексных чисел и .

Решение. Применяем формулу для умножения и получаем:

Наверное, многие уже почувствовали, что сложение и умножение комплексных чисел – действия достаточно простые. Главное – не запутаться в знаках – правильно переносить их из формулы и соблюдать знаки самих частей комплексных чисел. И это действительно так, но на практике попадаются задания посложнее, где действия с комплексными числами соединяются с другими действиями, известными в математике. Таковы, например, уравнения и системы уравнений с комплексными числами.

Пример 6. Найти x и y, считая их вещественными, в уравнении

.

Решение. Подвоха нет: умножение на икс и игрек – это именно умножение по всем правилам алгебры. Раскрываем скобки:

.

Теперь нужно привести левую часть полученного выражения к алгебраической форме комплексного числа, записываем отдельно действительную и мнимую части:

.

Решаем отдельно уравнение для действительной части и для мнимой части. То есть записываем систему уравнений:

Второе уравнение сокращаем на i – мнимую единицу, система приобретает вид

Из первого уравнения выражаем икс и подставляем во второго уравнение:

Находим икс и игрек – получаем решение задачи:

Далее – несколько более сложный пример на умножение комплексных чисел. Сложность в том, что нужно выполнять целую цепочку умножений, в которой к тому же действительная часть разбита на константу (то есть число) и переменную – икс. Тяжело в учении, легко в бою.

Пример 7. Проверить тождество:

.

Решение. Обозначим, какие умножения в какой очерёдности выполняем:

.

Находим произведение I. По всем правилам умножения комплексных чисел. Помним, что икс – это составная действительной части комплексного числа:

По тем же правилам находим произведение II:

Так же, не открывая никаких новых правил, а просто последовательно применяя правила умножения комплексных чисел, находим произведение III:

Как видим, тождество доказано.

Для комплексных чисел понятия “больше” и “меньше” не могут быть разумно определены, так как эти числа, в отличие от действительных чисел, располагаются не на прямой линии, точки которой естественным образом упорядочены, а на плоскости. Поэтому сами комплексные числа (но не их модули!) никогда нельзя соединять знаком неравенства.

Сложение комплексных чисел

Определение

Суммой двух комплексных чисел $z_{1}=a_{1}+b_{1} i$ и $z_{2}=a_{2}+b_{2} i$ называется комплексное число $z$, которое равно

$z=left(a_{1}+a_{2}right)+left(b_{1}+b_{2}right) i$

То есть суммой двух комплексных чисел есть комплексное число,действительная и мнимая частикоторого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.

Пример

Задание. Найти сумму $z_{1}+z_{2}$, если $z_{1}=5-6 i$, $z_{2}=-3+2 i$ .

Решение. Искомая сумма равна

$z_{1}+z_{2}=5-6 i+(-3+2 i)=(5+(-3))+(-6+2) i=2-4 i$

Ответ. $z_{1}+z_{2}=2-4 i$

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.

Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image008.gif, где kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image010.gif и kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image012.gif – действительные числа, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image014.gif – так называемая мнимая единица. Число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image010_0000.gif называется действительной частью (kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image016.gif) комплексного числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0000.gif, число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image012_0000.gif называется мнимой частью (kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image019.gif) комплексного числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0001.gif.

kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image021.gif – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image023.gif или переставить мнимую единицу: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image025.gif – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядкеkompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image008_0000.gif

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Комплексная плоскость
Как упоминалось выше, буквой kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image002_0000.gif принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image030.gif. Поэтому на чертеже следует поставить букву kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image030_0000.gif, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image016_0000.gif – действительная ось
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image019_0000.gif – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать масштаб, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image014_0000.gif по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image034.gif.

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image036.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image038.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image040.gif
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image042.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image044.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image046.gif
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image048.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image050.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image052.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image054.gif

Как изобразить комплексные числа на комплексной плоскости
По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.

Рассмотрим следующие комплексные числа: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image036_0000.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image038_0000.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image040_0000.gif. Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image016_0001.gif обозначает в точности множество действительных чисел kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image002_0001.gif, то есть на осиkompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image016_0002.gif сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image002_0002.gif является подмножеством множества комплексных чисел kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image030_0001.gif.

Числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image036_0001.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image038_0001.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image040_0001.gif – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image042_0000.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image044_0000.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image046_0000.gif – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image019_0001.gif.

В числах kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image048_0000.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image050_0000.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image052_0000.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image054_0000.gif и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.

Действия над комплексными числами в показательной форме

Если

100task.ru

100task.ru

то

100task.ru

100task.ru

Если 100task.ru

то

100task.ru

100task.ru

Сопряженные числа и их свойства

Пусть – комплексное число. Число , отличающееся от числа a лишь знаком при мнимой части, называется числом, сопряжённым с a.

Свойства сопряжённых чисел

1) (число, сопряжённое сопряжённому числу, равно данному числу);

2) если a и b – комплексные числа, то и (число, сопряжённое с суммой двух чисел, равно сумме чисел, сопряжённых со слагаемыми и число, сопряжённое с произведением, равно произведению чисел, сопряжённых с сомножителями).

3) если , то и – положительное действительное число, равное нулю тогда и только тогда, когда , т. е. когда и .

Пример 8. Даны комплексные числа и . Убедиться в справедливости свойств сопряжённых чисел.

Решение. Сопряжёнными данным комплексным числам являются числа и . Сумма данных комплексных чисел:

,

а произведение:

.

В свою очередь

,

Таким образом, справедливость свойств сопряжённых чисел доказана.

Алгебраические формы комплексного числа

info.pngОпределение

Алгебраические формы комплексного числа – это комплексное число

z

в виде

z = a + bi

, где

a

и

b

 – действительные числа; число

a

 называется действительной, а

b

– мнимой частью комплексного числа.

Обозначения: a = Rez, b = Im z; символ i формально определяется равенством l^2 = -1 называется мнимой единицей.

Два комплексных числа называются равными, если в соответствии равные их действительные и мнимые числа.

Ниже будут рассмотрены более подробно основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

Дальше договоримся выражения z = a + bi, z = x + iy, w = u + iv и т. д. считать комплексными числами, записанными в алгебраической форме, значит,  a, b, x, u, v и т. п. приобретаются только действительные значения.

Пусть дано число z = a + bi. Если IM z = 0, тогда z – действительное число: z = x + 0 * i = x; если Re z = 0 тогда z – это мнимое число: z = 0 + iy = iy

Сложение и вычитание комплексных чисел

z_{1} + z_{2} = (a_{1} + b_{1}i) + a_{2} + b_{2}i) = (a_{1} + a_{2}) + b_{1} + b_{2})i;

z_{1} - z_{2} = (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} - b_{2})i.

Допустим:

z_{1} + z_{2} = -(-7 + 4i) - (-12 + 2i) = -7 + 4i + 12 - 2i = 5 + 2i.

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел выполняется согласно правилу (считая, что i^2 = -1):

z_{1}z_{2} = (a_{1} + b_{1}i) = a_{1}a_{2} + a_{1}b_{2}i + b_{1}a_{2}i + b_{1}b_{2}i^2 = (a_{1}a_{2} - b_{1}b_{2}) + i(a_{1}b_{2} + b_{1}a_{2}).

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел согласно правилу (при условии omeganeq{0}.

{zover{omega}} = {x + iyover{u + iv}} = {(x + iy)(u - iv)over{(u + iv)(u - iv)}} = {xu - xvi + yui - yvi^2over{u^2 + v^2}} = {(xu + yv) + i(yu - xv)over{u^2 + v^2}} = {xu + yvover{y^2 + v^2}} + i{yu - xvover{u^2 + v^2}}.

Сопряженные комплексные числа

Сопряженные числа – это числа z = a + bi и overline{z} = a - bi. Таким образом, если z_{1} и z_{2} сопряженные числа, тогда Re z_{1} = Re z_{2} и Im z_{1} = -IM z_{2}.

Очевидно, если z = x – действительное число, тогда z = overline{z}; если omega – чисто мнимое число, тогда omega = overline{omega}. Наоборот, если z = overline{z} и omega = -overline{omega}, тогда соответственно z и omega – действительные и чисто мнимые числа.

Модуль комплексного числа

Модуль числа z = kx + b называется число |z| = sqrt{x^2 + y^2}.

Модуль действительного числа равняется его абсолютной величине. Правда, если z = x + 0 * i, тогда |z| = sqrt{x^2 + 0^2} = sqrt{x^2} = |x|.

Формы, как записываются

Алгебраическая запись комплексного числа имеет такой вид:

z = a + bi.

Кроме данной формы существует еще несколько способов для записи. Удобным и наглядным геометрическим представлением является:

z = a + bi в виде вектора с координатами (а;b) на декартовой плоскости, либо точкой — концом вектора с аналогичными координатами.

Геометрическое представление вектора

 

В этом случае пару комплексных чисел представляют в виде суммы соответствующих векторов, которую рассчитывают с помощью правила параллелограмма. Согласно теореме Пифагора, длина вектора с координатами (а;b) определяется, как:

(sqrt{a^{2}+b^{2}})

Данная величина представляет собой модуль комплексного числа z = a + bi и имеет такое решение:

(left|z right|)

Вектор и положительное направление оси абсцисс образуют угол, отсчитанный против часовой стрелки. Данный угол называют аргументом комплексного числа z и обозначают, как Arg z. Аргумент имеет неоднозначное определение с точностью до прибавления величины, которая кратна 2π радиан. При повороте на такой угол вокруг начала координат вектор не изменяется.

В том случае, когда вектор длиной r с положительным направлением оси абсцисс составляет угол ϕ, его координаты будут следующими:

(left(r*cos varphi ;r*sin varphi right))

Таким образом, получают тригонометрическую форму записи комплексного числа:

(z=left|z right|*left(cos (Arg z)+isin (Arg z) right))

Из-за более простого вида вкладок комплексные числа, как правило, представляют в тригонометрической форме.

Существует показательная форма для записи комплексных чисел. Какое-либо комплексное число, не равное нулю, можно представить в показательной форме:

(z=left|z right|*e^{ivarphi })

Где (left|z right|)является модулем комплексного числа,

(varphi) представляет собой аргумент комплексного числа.

Представить комплексное число в показательной форме можно с помощью нескольких действий:

  • изобразить чертеж;
  • найти модуль;
  • рассчитать аргумент.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы, методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.

Любое комплексное число (кроме нуля) kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image008_0002.gif можно записать в тригонометрической форме:
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image145.gif, где kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image147.gif – это модуль комплексного числа, а kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image149.gif – аргумент комплексного числа. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.

Изобразим на комплексной плоскости число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image008_0003.gif. Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image152.gif:
Модуль и аргумент комплексного числа

Модулем комплексного числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0002.gif называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0003.gif стандартно обозначают: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image147_0000.gif или kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image158.gif

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image160.gif. Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Аргументом комплексного числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0004.gif называется угол kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image149_0000.gif между положительной полуосью действительной оси kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image016_0003.gif и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image163.gif.

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0005.gif стандартно обозначают: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image149_0001.gif или kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image165.gif

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image167.gif. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 7

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image169.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image171.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image173.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image175.gif.
Выполним чертёж:
Комплексные числа на осях

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image145_0000.gif

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.

1) Представим в тригонометрической форме число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image169_0000.gif. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image180.gif. Формальный расчет по формуле: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image182.gif.
Очевидно, что kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image184.gif (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image186.gif.

Ясно, как день, обратное проверочное действие: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image188.gif

2) Представим в тригонометрической форме число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image171_0000.gif. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image191.gif. Формальный расчет по формуле: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image193.gif.
Очевидно, что kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image195.gif (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image197.gif.

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image199.gif

3) Представим в тригонометрической форме число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image173_0000.gif. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image202.gif. Формальный расчет по формуле: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image204.gif.
Очевидно, что kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image206.gif (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image208.gif.

Проверка: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image210.gif

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image175_0000.gif. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image213.gif. Формальный расчет по формуле: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image215.gif.

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image217.gif (270 градусов), и, соответственно: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image219.gif. Проверка: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image221.gif

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image223.gif (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image217_0000.gif и kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image223_0000.gif – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image226.gif

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image228.jpg

Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!

В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен…».  Это действительно очевидно и легко решается устно.

Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image160_0000.gif. А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image008_0004.gif. При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):

1) Если kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image230.gif (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image167_0000.gif.

2) Если kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image232.gif (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image234.gif.

3) Если kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image236.gif (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image238.gif.

Пример 8

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image002_0003.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image004_0000.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0006.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image008_0005.gif.

Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить. Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.

Эх, сто лет от руки ничего не чертил, держите:
Как найти аргумент комплексного числа в зависимости от координатной четверти

Как всегда, грязновато получилось =)

Я представлю в комплексной форме числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image012_0001.gif и kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image014_0002.gif, первое и третье числа будут для самостоятельного решения.

Представим в тригонометрической форме число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image004_0001.gif. Найдем его модуль и аргумент.
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image016_0004.gif
Поскольку kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image018.gif (случай 2), то kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image020.gif – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image022.gif, поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image024.gif – число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image012_0002.gif в тригонометрической форме.

Расскажу о забавном способе проверки. Если вы будете выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, который у меня (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол.

Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image012_0003.gif. Вы убедитесь, что действительно kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image026.gif. Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image028.gif.

Представим в тригонометрической форме число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image008_0006.gif. Найдем его модуль и аргумент.
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image030_0002.gif

Поскольку kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image032.gif (случай 1), то kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image034_0000.gif (минус 60 градусов).

Таким образом:
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image036_0002.gif – число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image014_0003.gif в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image039.gif – это в точности табличный угол kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image041.gif (или 300 градусов):
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image043.gif – число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image014_0004.gif в исходной алгебраической форме.

Числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image002_0004.gif и kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0007.gif представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.

В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image047.gif можно записать в показательной форме:
kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image049.gif, где kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image051.gif – это модуль комплексного числа, а kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image053.gif – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image049_0000.gif.

Например, для числа kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image004_0002.gif предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image055.gif, kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image057.gif. Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image059.gif.

Число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image061.gif в показательной форме будет выглядеть так: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image063.gif

Число kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image065.gif – так: kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image067.gif

 И т.д.

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image049_0001.gif.

Деление комплексных чисел

Как и при любом делении в алгебре, комплексное число нельзя делить на нуль и на комплексное число 0 + i0.

При делении комплексного числа на действительное число на это число нужно разделить и действительную, и мнимую компоненты. При делении комплексного числа на комплексное число нужно делимое и делитель умножить на число, сопряжённое делителю.

Пример 9. Разделить комплексное число на комплексное число .

Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби на , получаем:

Автор проекта был свидетелем вопроса о том, откуда взялось 5 в знаменателе дроби. Пояснения вызывают реакцию “А слона-то я и не заметил!”. Пояснения следующие: не забываем, что мы имеем дело с комплексными числами и знаем, что i – это не какая-нибудь переменная, а корень из минус единицы. Таким образом,

4 – i² = 4 – (- 1) = 5.

Пример 10. Разделить комплексное число на комплексное число .

Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби на , получаем:

Если всё же возникает вопрос, откуда в знаменателе дроби 10, смотрите пояснения в конце предыдущего примера.

Решить задачи на комплексные числа самостоятельно, а затем посмотреть решение

200x200_03.png

О множествах чисел

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...