Функция Exp

Экспонента (экспоненциальная функция) — это математическая функция вида y = e×, или у = exp(x), или у = Exp(x) (где основанием степени является число е). е — это число Эйлера,…

В этой статье нет ни слова о коронавирусе!

Экспоненциальный рост – одно из частых выражений в интернете, что же такое экспонента, давайте разложим “по полкам” и на примерах.

Что такое Экспонента

В математике экспонента «в чистом виде» — это показательная функция y(x) = ex, производная которой равна самой функции. Коэффициент e = 2,72 (число Эйлера). Рост такой функции происходит очень быстро, чем больше x, тем быстрее рост. К примеру, для х=0 экспонента равна 1, при х=1 функция растет до 2,72, а уже на х=5 она принимает значение 148. На графиках это выглядит как кривая, стремительно поднимающаяся вверх.

Представьте себе снежный ком который катится с горы, он постоянно увеличивается. Чем больше он становится, тем быстрее катится, чем быстрее катится, тем быстрее растет, получается расстояние, которое проходит снежный ком, зависит от времени как экспонента и его скорость выражается той же самой экспонентой.

Что такое Экспонента

У экспоненциально протекающих процессов есть одно общее свойство: за одинаковый интервал времени их параметры меняются в одинаковое число раз. Банковский вклад каждый год увеличивается на 7%, снежный ком за минуту увеличивается в три раза, а количество урана-235 на атомных электростанциях уменьшается вдвое каждые 700 миллионов лет. Экспоненциальные функции окружают нас повсюду. Экспоненциально развиваются все явления, в которых присутствует обратная связь, когда результат влияет на скорость процесса. В случае со снежным комом обратная связь положительная: чем больше результат, тем быстрее протекает процесс. А масса и скорость снежного кома y экспоненциально возрастают со временем x. Аналогично ведут себя деньги в банке при фиксированной процентной ставке. Чем больше денег, тем больше ежегодный прирост — и тем быстрее денег хватит на домик на Мальдивах. Так же увеличивается численность животных при отсутствии внешних угроз: чем больше популяция, тем больше размножающихся особей, тем быстрее она увеличивается. А еще, когда микрофон подносишь близко к динамику, то самый тихий шорох через секунду превратится в звонкий гул.

(При подготовке статьи были использованы материалы кандидата физико-математических наук, старшего научного сотрудника физического факультета МГУ Константина Катамадзе).

Пишите в комментариях о каких новых словах или терминах вы хотели бы узнать.

Мы разложим для вас на канале Всё по полкам. Коротко и ясно

Будьте в курсе и будьте здоровы!

Для чего используется экспонента?

Экспонента применяется и в физике, и в технике, и в экономике, особенно при решении задач, связанных с процентами.

Онлайн калькулятор

Чему равна

exp()?

Ответ:

Просто введите число для которого нужно посчитать экспоненту и получите ответ.

Формальное определение

Показательная функция (синим цветом) и сумма первых

n + 1

членов ее степенного ряда (красным цветом).

Действительная экспоненциальная функция может быть охарактеризована множеством эквивалентных способов. Обычно это определяется следующим степенным рядом : exp : р → р { Displaystyle ехр двоеточие mathbb {R} to mathbb {R}} { Displaystyle  ехр  двоеточие  mathbb {R}  to  mathbb {R}}

exp ⁡ Икс знак равно ∑ k знак равно 0 ∞ Икс k k ! знак равно 1 + Икс + Икс 2 2 + Икс 3 6 + Икс 4 24 + ⋯ { displaystyle exp x: = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {k}} {k!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {6}} + { frac {x ^ {4}} {24}} + cdots} { displaystyle  exp x: =  sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {k}} {k!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {6}} + { frac {x ^ {4}} {24}} +  cdots}

Так как радиус сходимости этого степенного ряда бесконечен, это определение фактически применимо ко всем комплексным числам z ∈ ℂ (см. § Комплексная плоскость для продолжения до комплексной плоскости). Тогда постоянная e может быть определена как exp ⁡ Икс { Displaystyle ехр х}  ехр х е знак равно exp ⁡ 1 знак равно ∑ k знак равно 0 ∞ ( 1 / k ! ) . { textstyle e = exp 1 = sum _ {k = 0} ^ { infty} (1 / k!).} { textstyle e =  exp 1 =  sum _ {k = 0} ^ { infty} (1 / k!).}

Почленное дифференцирование этого степенного ряда показывает, что для всех действительных x , что приводит к еще одной общей характеристике как единственного решения дифференциального уравнения d d Икс exp ⁡ Икс знак равно exp ⁡ Икс { Displaystyle { гидроразрыва {d} {dx}} ехр х = ехр х} { Displaystyle { гидроразрыва {d} {dx}}  ехр х =  ехр х} exp ⁡ Икс { Displaystyle ехр х}  ехр х

y ′ ( Икс ) знак равно y ( Икс ) , { Displaystyle у ‘(х) = у (х),} { Displaystyle у '(х) = у (х),}

удовлетворяющий начальному условию y ( 0 ) знак равно 1. { displaystyle y (0) = 1.} у (0) = 1.

Основываясь на этой характеристике, цепное правило показывает, что его обратная функция, натуральный логарифм , удовлетворяет для или Это соотношение приводит к менее распространенному определению действительной экспоненциальной функции как решения уравнения d d y бревно е ⁡ y знак равно 1 / y { displaystyle { frac {d} {dy}} log _ {e} y = 1 / y} { displaystyle { frac {d} {dy}}  log _ {e} y = 1 / y} y > 0 , { displaystyle y> 0,} { displaystyle y> 0,} бревно е ⁡ y знак равно ∫ 1 y 1 т d т . { textstyle log _ {e} y = int _ {1} ^ {y} { frac {1} {t}} , dt.} { textstyle  log _ {e} y =  int _ {1} ^ {y} { frac {1} {t}} , dt.} exp ⁡ Икс { Displaystyle ехр х}  ехр х y { displaystyle y} y

Икс знак равно ∫ 1 y 1 т d т . { displaystyle x = int _ {1} ^ {y} { frac {1} {t}} , dt.} { displaystyle x =  int _ {1} ^ {y} { frac {1} {t}} , dt.}

Посредством биномиальной теоремы и определения степенного ряда экспоненциальная функция также может быть определена как следующий предел:

exp ⁡ Икс знак равно Lim п → ∞ ( 1 + Икс п ) п . { displaystyle exp x = lim _ {n to infty} left (1 + { frac {x} {n}} right) ^ {n}.} { displaystyle  exp x =  lim _ {n  to  infty}  left (1 + { frac {x} {n}}  right) ^ {n}.}

График экспоненты

График экспоненты е в степени х
График экспоненты, y = ex.

На графике представлена экспонента, е в степени х.
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Свойства

  • (ex)’ = ex, в частности
  • Экспонента является единственным решением дифференциального уравнения y‘ = y с начальными данными y(0) = 1. Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
  • Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
  • Экспонента является выпуклой функцией.
  • Обратная функция к ней — натуральный логарифм ln~a.
  • Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
  • Основное функциональное свойство экспоненты:exp(a + b) = exp(a)exp(b).
    • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид exp(ct), где c — некоторая константа.

Что такое второй замечательный предел

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.

Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.

Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):

второй замечательный пределВторой замечательный предел

То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.

Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е.
Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:

(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691

Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.

См. также

Как посчитать факториал

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм.
;
.

Интересные факты

Экспоненциальную функцию также называют экспонента.

Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.

А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):

lnx=logex

Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как logay.

Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

Интеграл

См. также раздел “Таблица неопределенных интегралов” >>>

Число Непера и число Эйлера

Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.

Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.

John NaiperДжон Непер — шотландский математик (1550–1617 гг.)

Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.

Leonard EulerЛеонард Эйлер — швейцарский математик (1707–1783 гг.)

Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.

Узнайте также, что такое Число Пи, Натуральные числа и Логарифм.

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
,
где есть мнимая единица:
.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...