2 в степени бесконечность

Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.

Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel +…

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2 в степени бесконечность Онлайн?

Решить задачу 2 в степени бесконечность вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Раскрытие неопределенностей

Раскрыть неопределенность можно:

  1. С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );
  2. С помощью замечательных пределов;

  3. С помощью правила Лопиталя;

  4. Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).

Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

Неопределенность Метод раскрытия  неопределенности
1. Деление 0 на 0 Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид  sin(kx)kx или kxsin(kx) то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений
2. Деление бесконечности на бесконечность Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя
3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями Преобразование в 00 или ∞∞ с последующим применением правила Лопиталя
4. Единица в степени бесконечности Использование второго замечательного предела
5.  Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень Логарифмирование выражения с применением равенства limx→x0ln(f(x))=lnlimx→x0f(x)

Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

Пример 1

Вычислите предел limx→1×3+3x-1×5+3.

Решение

Выполняем подстановку значений и получаем ответ.

limx→1×3+3x-1×5+3=13+3·1-115+3=34=32

Ответ: limx→1×3+3x-1×5+3=32.

Пример 2

Вычислите предел limx→0(x2+2,5)1×2.

Решение 

У  нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставитьx=0.

(x2+2,5)x=0=02+2,5=2,5

Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:

limx→0(x2+2,5)1×2=limx→02,51×2

Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1×2=x-2. Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞ и limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞

Таким образом, можно записать, что limx→0(x2+2,5)1×2=limx→02,51×2=2,5+∞.

Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0, и получаем:

limx→0(x2+2,5)1×2=limx→02,51×2=2,5+∞=+∞

Ответ: limx→0(x2+2,5)1×2=+∞.

Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

Пример 3

Вычислите предел limx→1×2-1x-1.

Решение

Выполняем подстановку значений.

limx→1×2-1x-1=12-11-1=00

В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения.  Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.

limx→1×2-1x-1=00=limx→1(x-1)·(x+1)x-1==limx→1(x-1)·(x+1)·(x+1)x-1=limx→1(x+1)·x-1==1+1·1-1=2·0=0

Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.

Ответ: limx→1×2-1x-1=0

Пример 4

Вычислите предел limx→3x-312-x-6+x.

Решение

Подставляем значение и получаем запись следующего вида.

limx→3x-312-x-6+x=3-312-3-6+3=09-9=00

Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12-x+6+x:

limx→3x-312-x-6+x=00=limx→3x-312-x+6+x12-x-6+x12-x+6+x

Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.

limx→3x-312-x+6+x12-x-6+x12-x+6+x=limx→3x-312-x+6+x12-x2-6+x2=limx→3(x-3)12-x+6+x12-x-(6+x)==limx→3(x-3)12-x+6+x6-2x=limx→3(x-3)12-x+6+x-2(x-3)==limx→312-x+6+x-2=12-3+6+3-2=9+9-2=-9=-3

Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: limx→3x-312-x-6+x=-3.

Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

Пример 5

Вычислите предел limx→1×2+2x-33×2-5x+2.

Решение 

Выполняем подстановку.

limx→1×2+2x-33×2-5x+2=12+2·1-33·12-5·1+2=00

В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении x, равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0, то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х-1,и тогда неопределенность исчезнет.

Выполняем разложение числителя на множители:

x2+2x-3=0D=22-4·1·(-3)=16⇒x1=-2-162=-3×2=-2+162=1⇒x2+2x-3=x+3x-1

Теперь делаем то же самое со знаменателем:

3×2-5x+2=0D=-52-4·3·2=1⇒x1=5-12·3=23×2=5+12·3=1⇒3×2-5x+3=3x-23x-1

Мы получили предел следующего вида:

limx→1×2+2x-33×2-5x+2=00=limx→1x+3·x-13·x-23·x-1==limx→1x+33·x-23=1+33·1-23=4

Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.

Ответ: limx→1×2+2x-33×2-5x+2=4.

Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0, то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.

Например, limx→∞(x4+2×3-6)=limx→∞x4=∞ или limx→∞x4+4×3+21×2-115=limx→∞x45=∞.

Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x→∞ у  нас возникает неопределенность вида ∞∞. Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на xmax(m,n). Приведем пример решения подобной задачи.

Пример 6

Вычислите предел limx→∞x7+2×5-43×7+12.

Решение

limx→∞x7+2×5-43×7+12=∞∞

Степени числителя и знаменателя равны 7. Делим их на x7 и получаем:

limx→∞x7+2×5-43×7+12=limx→∞x7+2×5-4x73x7+12×7==limx→∞1+2×2-4×73+12×7=1+2∞2-4∞73+12∞7=1+0-03+0=13

Ответ: limx→∞x7+2×5-43×7+12=13.

Пример 7

Вычислите предел limx→∞x8+113×2+x+1.

Решение

limx→∞x8+113×2+x+1=∞∞

Числитель имеет степень 83, а знаменатель 2. Выполним деление числителя и знаменателя на x83:

limx→∞x8+113×2+x+1=∞∞=limx→∞x8+113x83x2+x+1×83==limx→∞1+11x831x23+1×53+1×83=1+11∞31∞+1∞+1∞=1+030+0+0=10=∞

Ответ: limx→∞x8+113×2+x+1=∞.

Пример 8

Вычислите предел limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123.

Решение

limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123=∞∞

У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 103. Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x103:

limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123=∞∞=limx→∞x3+2×2-1x103x10+56×7+123×103==limx→∞1×13+2×43-1×1031+56×3+12×103=1∞+2∞-1∞1+56∞+12∞3=0+0-01+0+03=0

Ответ: limx→∞x3+2×2-1×10+56×7+123=0.

Известные факты

  • Мощность множества целых чисел обозначается $aleph_0$. Это первая бесконечная мощность, такие множества называются счетными.
  • Мощность любого бесконечного подмножества целых чисел — простые, четные итд. — тоже счетна.
  • Множество рациональных чисел, то есть дробей p/q тоже счетно, их можно пройти змейкой.
  • Для любой мощности есть операция powerset — множество всех подмножеств, которая создает мощность бОльшую, чем исходная. Иногда эта операция обозначается как возведение двойки в степень, то есть $powerset(aleph_0) = 2^{aleph_0} = aleph_c$. powerset от счетной мощности есть мощность континуума.
  • Мощностью континуума обладают: конечные и бесконечные отрезки, плоские и объемные фигуры, и даже n-мерные пространства целиком
  • Для обычной математики следующая мощность, $powerset(aleph_c)$ практически не нужна, обычно вся работа происходит со счетными множествами и множествами мощности континуума

Теперь

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

  • an — степень,

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, an= a · a · a · a… · a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то она решается довольно просто:

  • 23 = 2 · 2 · 2, где
  • 2 — основание степени
  • 3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе. Их выбор велик, а доступность иногда на расстоянии одного клика в онлайн. Всё это безусловно можно использовать, но сейчас нам важно подробно разобрать принцип работы, чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике.

Малоизвестные факты

В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, “

множество всех множеств

” не есть множество. Впрочем,

есть теории множеств

, где такие множества разрешены.

Дальше. Теория множеств… Каких объектов? Чисел? Яблок? Апельсинов? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Возьмем пустое множество {} и договоримся, что оно означает 0. 1 обозначим с помощью {{}}, двойку как {{{}}} итд. {5,2} есть {{{{{{{}}}}}}, {{{}}}}. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры.

Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно

нестить

(nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.

Единственная операция, которая определена в теории множеств, это

$in$

— символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:

$(A = B) equiv forall x((x in A) = (x in B))$

То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты

Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это {{p}, {p, v}}. Неэлегантно с точки зрения программиста, но достаточно для математика. Теперь множество всех пар param-value задает функцию, которая теперь тоже множество! Et voila! весь математический анализ, который работает на уровне

языков второго порядка

, так как говорит

не о существовании чисел

,

а существовании функций

— коллапсирует в язык 1 порядка!

Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...