Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel. Интегрирование тригонометрических функции

Как в Excel вычислить определённый интеграл – методика решения на практическом примере

1Постановка физической задачина расчёт определённого интеграла

Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (единицы измерений – микрозиверт в час, мкЗв/ч). Возможно, Вас это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек попадает под радиоактивное излучение, превышающее фоновый уровень до 10 раз и даже больше. Но воздействие это кратковременное, и поэтому не столь опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время – Мощность дозы.

Таблично заданная величина для расчёта определённого интегралаТаблично заданная величина для расчёта определённого интеграла

Необходимо посчитать суммарную накопленную за время полёта дозу.

Теория.

Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.

Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.

Методы численного интегрирования: метод трапеций и метод Симпсона.

Площадь под кривой = f (x) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y=f (x). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.

Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.

Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.

Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.

Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.

Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.

1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!

2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!

Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций

1. Интегралы вида sinnxdx, cosnxdx, n>0
a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
2. Интегралы вида tgnxdx, ctgnxdx, где n – целое.
Необходимо использовать формулы
t-image005.gif
3. Интегралы вида sinnx·cosmx dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n – нечётное либо t=cos x, если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
4. Интегралы вида t-image008.gif
3. Интегралы вида sinnx·cosmx dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n – нечётное либо t=cos x, если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
4. Интегралы вида exceltut.ru

Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x. Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. sin(nx)·cos(mx)dx, cos(mx)·cos(nx)dx, sin(mx)·sin(nx)dx

Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму:

  • sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
  • cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
  • sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))
  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция

С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word. Также рекомендуется ознакомиться с возможностью нахождения интегралов онлайн.

Примеры
1. Вычислить интеграл cos4x·sin3xdx.
Делаем замену cos(x)=t. Тогда cos4x·sin3xdx = int1-image102.gif int1-image103.gif exceltut.ru
2. Вычислить интеграл int-trig1.png.
Делая замену sin x=t, получаем

3. Найти интеграл int-trig2.png.
Делаем замену tg(x)=t. Подставляя, получаем

Заметим, что замена

ctg(x)=t

здесь удобнее, так как тогда

int1-image111.gif, int1-image112.gif, exceltut.ru

и поэтому

int1-image113.gifint1-image114.gifexceltut.ru

Примеры интегрирования тангенса и котангенса

Пример 1. Найти интеграл от тангенса tan(4*x).
Вычисления: Применяем приведенную выше методику для интегрирования тангенса
Int12_005.gif
Здесь в скобках мы сначала вычисляем дифференциал от косинуса, а дальше выделяем значение, которое нам нужно достать. Далее интегрирования сводим к логарифму.
Таким образом можем записать обобщенную формулу для интегралаtan(k*x)
Int(tan(k*x),x)=-1/k*(log(cos(x)).

По этой формуле интеграл от тангенса двойного угла равен логарифму косинуса двойного угла умноженному на -0,5.
Int12_006.gifДля тангенса половины угла tan (phi / 2) интеграл равен -2 умножить на логарифм косинуса половины угла
Int12_007.gifПо индукции получим формулу интеграла для тангенса одной третьей угла tan(phi/3)
Int12_008.gif

Пример 2. Проинтегрировать котангенс двойного угла
Вычисления: По аналогии с формулами для тангенса мы могли бы выписать готовую формулу, но лучше выполнить промежуточные переходы чтобы Вы лучше поняли и заучили методику внесения под дифференциал
Int12_009.gif
Таким образом, если имеем котангенс тройного угла то перед интегралом получим множителем 1/3
Int12_010.gifИнтегралы от котангенса половины и трети угла будут иметь множителями перед логарифмом соответственно двойку и тройку
Int12_011.gifInt12_012.gifПри нахождении первоначальной от тангенса и котангенса следует справа добавить постоянную
Int12_013.gifInt12_014.gifЗная данную методику, Вы знаете как найти интеграл от тангенса, аргумент которого содержит множителем произвольное число.
Вычисления определенных интегралов от тангенса и котангенса в данной статье рассматривать не будем. Если Вы вычисляли такие интегралы от простых функций то, зная синусы и косинусы углов найти определенный интеграл от тангенса или котангенса сможете без проблем.

3Методика вычисленияопределённого интеграла

Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.

Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: Sтрап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.

Метод трапеций для вычисления значения определённого интегралаМетод трапеций для вычисления значения определённого интеграла

Как рассчитать площадь под кривой в Excel

Excel может быть полезным инструментом со многими функциями для ученых, студентов, экономистов, аналитиков и многих других профессий. Одна из оригинальных функций Excel заключается в том, что он позво

Содержание:

  • направления
  • Использование уравнения тренда
  • Приближается, если точки расположены на равном расстоянии
  • чаевые
  • Что вам нужно

Excel может быть полезным инструментом со многими функциями для ученых, студентов, экономистов, аналитиков и многих других профессий. Одна из оригинальных функций Excel заключается в том, что он позволяет пользователям легко анализировать и отображать большие объемы данных. Люди, обладающие знаниями в области расчета, могут использовать функцию линии тренда на графике для расчета площади под кривой. Для студентов, которые не имеют вычислительных знаний, есть другой способ приблизиться к области под кривой.

направления

Вы можете рассчитать площадь под кривой без знания расчета (Изображение калькулятора от Alhazm Salemi от Fotolia.com)

Использование уравнения тренда

Щелкните правой кнопкой мыши на кривой, где вы хотите найти область на диаграмме Excel. Нажмите на опцию, чтобы добавить линию тренда.

Выберите тип линии, которая, по вашему мнению, лучше всего соответствует кривой.

Выберите параметр для отображения уравнения в диаграмме на вкладке «Параметры».

Найдите определенный интеграл уравнения, показанного на графике в течение интервала, в котором вы хотите найти область. Значением определенного интеграла является площадь под кривой. Знание расчетов требуется для этого шага.

Приближается, если точки расположены на равном расстоянии

Соедините значения y данных, в которых вы хотите найти область. Это можно сделать, добавив значения непосредственно в диаграмму или добавив значения в ячейки на листе.

Найти расстояние между точками на оси х, если они расположены равномерно.

Умножьте сумму значений y и расстояния между значениями x. Этот продукт является приблизительной площадью под кривой.

REDMOND

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...