Треугольное распределение

Cлучайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , если Моменты: Дисперсия: Коэффициент асимметрии: Коэффициент эксцесса: С помощью линейного преобразования приводится к равномерному распределению на отрезке . Равномерное распределение является непрерывным аналогом распределений…

Особые случаи

Режим на грани

Распределение упрощается, когда c  =  a или c  =  b . Например, если a  = 0, b  = 1 и c  = 1, тогда PDF и CDF станут:

ж ( Икс ) знак равно 2 Икс F ( Икс ) знак равно Икс 2 }  для  0 ≤ Икс ≤ 1 { displaystyle left. { begin {array} {rl} f (x) & = 2x \ [8pt] F (x) & = x ^ {2} end {array}} right } { текст {for}} 0 leq x leq 1} { displaystyle  left. { begin {array} {rl} f (x) & = 2x \ [8pt] F (x) & = x ^ {2}  end {array}}  right } { текст {for}} 0  leq x  leq 1} E ⁡ ( Икс ) знак равно 2 3 Вар ⁡ ( Икс ) знак равно 1 18 { displaystyle { begin {align} operatorname {E} (X) & = { frac {2} {3}} \ [8pt] operatorname {Var} (X) & = { frac {1} {18}} end {align}}} { displaystyle { begin {align}  operatorname {E} (X) & = { frac {2} {3}} \ [8pt]  operatorname {Var} (X) & = { frac {1} {18}}  end {align}}}

Распределение абсолютной разности двух стандартных равномерных переменных

Это распределение для a  = 0, b  = 1 и c  = 0 является распределением X  = | X 1  –  X 2 |, где X 1 , X 2 – две независимые случайные величины со стандартным равномерным распределением .

ж ( Икс ) знак равно 2 – 2 Икс  для  0 ≤ Икс < 1 F ( Икс ) знак равно 2 Икс – Икс 2  для  0 ≤ Икс < 1 E ( Икс ) знак равно 1 3 Вар ⁡ ( Икс ) знак равно 1 18 { displaystyle { begin {align} f (x) & = 2-2x { text {for}} 0 leq x <1 \ [6pt] F (x) & = 2x-x ^ {2} { text {for}} 0 leq x <1 \ [6pt] E (X) & = { frac {1} {3}} \ [6pt] operatorname {Var} (X) & = { гидроразрыв {1} {18}} end {align}}} { displaystyle { begin {align} f (x) & = 2-2x { text {for}} 0  leq x <1 \ [6pt] F (x) & = 2x-x ^ {2} {  text {for}} 0  leq x <1 \ [6pt] E (X) & = { frac {1} {3}} \ [6pt]  operatorname {Var} (X) & = { гидроразрыв {1} {18}}  end {align}}}

Симметричное треугольное распределение

Симметричный случай возникает, когда c = ( a + b ) / 2. В этом случае альтернативный вид функции распределения:

ж ( Икс ) знак равно ( б – c ) – | c – Икс | ( б – c ) 2 { displaystyle { begin {align} f (x) & = { frac {(bc) – | cx |} {(bc) ^ {2}}} \ [6pt] end {align}}} { displaystyle { begin {align} f (x) & = { frac {(bc) - | cx |} {(bc) ^ {2}}} \ [6pt]  end {align}}}

Распределение среднего двух стандартных однородных переменных

Это распределение для a  = 0, b  = 1 и c  = 0,5 – мода (т. Е. Пик) находится точно в середине интервала – соответствует распределению среднего двух стандартных однородных переменных, т. Е. Распределению X  = ( X 1  +  X 2 ) / 2, где X 1 , X 2 – две независимые случайные величины со стандартным равномерным распределением в [0, 1].

ж ( Икс ) знак равно { 4 Икс для  0 ≤ Икс < 1 2 4 ( 1 – Икс ) для  1 2 ≤ Икс ≤ 1 { displaystyle f (x) = { begin {cases} 4x & { text {for}} 0 leq x <{ frac {1} {2}} \ 4 (1-x) & { text { for}} { frac {1} {2}} leq x leq 1 end {case}}} { displaystyle f (x) = { begin {cases} 4x & { text {for}} 0  leq x <{ frac {1} {2}} \ 4 (1-x) & { text { for}} { frac {1} {2}}  leq x  leq 1  end {case}}} F ( Икс ) знак равно { 2 Икс 2 для  0 ≤ Икс < 1 2 2 Икс 2 – ( 2 Икс – 1 ) 2 для  1 2 ≤ Икс ≤ 1 { Displaystyle F (x) = { begin {cases} 2x ^ {2} & { text {for}} 0 leq x <{ frac {1} {2}} \ 2x ^ {2} – (2x-1) ^ {2} & { text {for}} { frac {1} {2}} leq x leq 1 end {case}}} { Displaystyle F (x) = { begin {cases} 2x ^ {2} & { text {for}} 0  leq x <{ frac {1} {2}} \ 2x ^ {2} - (2x-1) ^ {2} & { text {for}} { frac {1} {2}}  leq x  leq 1  end {case}}} E ( Икс ) знак равно 1 2 Вар ⁡ ( Икс ) знак равно 1 24 { displaystyle { begin {align} E (X) & = { frac {1} {2}} \ [6pt] operatorname {Var} (X) & = { frac {1} {24}} конец {выровнено}}} { begin {align} E (X) & = { frac {1} {2}} \ [6pt]  operatorname {Var} (X) & = { frac {1} {24}}  end { выровнен}}

Свойства

  • Моменты:

{displaystyle mathbf {E} xi ^{k}={frac {b^{k+1}-a^{k+1}}{(b-a)(k+1)}};}

  • Дисперсия:

{displaystyle mathbf {D} xi ={frac {(b-a)^{2}}{12}};}

  • Коэффициент асимметрии:

{displaystyle gamma _{1}=0;}

  • Коэффициент эксцесса:

{displaystyle gamma _{2}=9/5.}

Треугольное распределение

Обзор

Треугольное распределение обеспечивает упрощенное представление вероятностного распределения, когда ограниченные выборочные данные доступны. Его параметры являются минимумом, максимумом и пиком данных. Распространенные приложения включают бизнес-и экономические симуляции, планирование управления проектами, моделирование природных явлений и аудио размывание.

Параметры

Треугольное распределение использует следующие параметры.

Параметр Описание Ограничения
a Нижний предел A≤B
b Пиковое местоположение A≤B≤C
c Верхний предел C≥B

Оценка параметра

Как правило, вы оцениваете параметры треугольного распределения, использующие субъективно рыночную стоимость на основе выборочных данных. Можно оценить параметры нижнего и верхнего предела a и c с помощью минимальных и максимальных значений выборочных данных, соответственно. Можно оценить пиковый параметр положения b с помощью демонстрационного среднего значения, медианы, режима или любой другой субъективно обоснованной оценки режима населения.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF) треугольного распределения

Этот график показывает, как, изменяя значение параметров a, b, и c изменяет форму PDF.

% Create four distribution objects with different parameterspd1 = makedist(‘Triangular’);pd2 = makedist(‘Triangular’,‘a’,-1,‘b’,0,‘c’,1);pd3 = makedist(‘Triangular’,‘a’,-.5,‘b’,0,‘c’,1);pd4 = makedist(‘Triangular’,‘a’,0,‘b’,0,‘c’,1);% Compute the pdfsx = -2:.01:2;pdf1 = pdf(pd1,x);pdf2 = pdf(pd2,x);pdf3 = pdf(pd3,x);pdf4 = pdf(pd4,x);% Plot the pdfsfigure;plot(x,pdf1,‘r’,‘LineWidth’,2)hold on;plot(x,pdf2,‘k:’,‘LineWidth’,2);plot(x,pdf3,‘b-.’,‘LineWidth’,2);plot(x,pdf4,‘g–‘,‘LineWidth’,2);legend({‘a = 0, b = 0.5, c = 1’,‘a = -1, b = 0, c = 1’, ‘a = -0.5, b = 0, c = 1’,‘a = 0, b = 0, c = 1’},‘Location’,‘NW’);hold off;

Figure contains an axes object. The axes object contains 4 objects of type line. These objects represent a = 0, b = 0.5, c = 1, a = -1, b = 0, c = 1, a = -0.5, b = 0, c = 1, a = 0, b = 0, c = 1.

Как расстояние между a и увеличениями c, плотностью в каком-то конкретном значении в рамках уменьшений контуров распределения. Поскольку функция плотности объединяется к 1, высота уменьшений графика PDF, когда его ширина увеличивается. Местоположение пикового параметра, который определяет b, скашивает ли PDF право или оставленный, или если это симметрично.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) треугольного распределения

Этот график показывает, как, изменяя значение параметров a, b, и c изменяет форму cdf.

% Create four distribution objects with different parameterspd1 = makedist(‘Triangular’);pd2 = makedist(‘Triangular’,‘a’,-1,‘b’,0,‘c’,1);pd3 = makedist(‘Triangular’,‘a’,-.5,‘b’,0,‘c’,1);pd4 = makedist(‘Triangular’,‘a’,0,‘b’,0,‘c’,1);% Compute the cdfsx = -1.2:.01:1.2;cdf1 = cdf(pd1,x);cdf2 = cdf(pd2,x);cdf3 = cdf(pd3,x);cdf4 = cdf(pd4,x);% Plot the cdfsfigure;plot(x,cdf1,‘r’,‘LineWidth’,2)xlim([-1.2 1.2]);ylim([0 1.1]);hold on;plot(x,cdf2,‘k:’,‘LineWidth’,2);plot(x,cdf3,‘b-.’,‘LineWidth’,2);plot(x,cdf4,‘g–‘,‘LineWidth’,2);legend({‘a = 0, b = 0.5, c = 1’,‘a = -1, b = 0, c = 1’, ‘a = -0.5, b = 0, c = 1’,‘a = 0, b = 0, c = 1’},‘Location’,‘NW’);hold off;

Figure contains an axes object. The axes object contains 4 objects of type line. These objects represent a = 0, b = 0.5, c = 1, a = -1, b = 0, c = 1, a = -0.5, b = 0, c = 1, a = 0, b = 0, c = 1.

Описательная статистика

Среднее значение и отклонение треугольного распределения связаны с параметрами a, b и c.

Среднее значение

Отклонение

Значение

С помощью линейного преобразования {displaystyle eta ={frac {(xi -a)}{(b-a)}}} приводится к равномерному распределению на отрезке {displaystyle [0,1]}. Равномерное распределение является непрерывным аналогом распределений классической теории вероятностей, описывающих случайные эксперименты с равновероятными исходами.

Погрешность, происходящая от округления числа, удовлетворительно описывается равномерным распределением на отрезке {displaystyle [-1/2,1/2]}.

Если случайная величина {displaystyle zeta } имеет непрерывную функцию распределения {displaystyle F_{zeta }(x)}, то случайная величина {displaystyle xi =F_{zeta }(zeta )} имеет равномерное распределение на отрезке {displaystyle [0,1]}. Этим объясняется широкое использование равномерного распределения в статистическом моделировании (методы Монте-Карло).

Cлучайная величина {displaystyle xi } имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке {displaystyle [a,b]} {displaystyle (a<b)}, если

{displaystyle f(x)=left{{begin{matrix}{frac {2}{b-a}}-{frac {2}{(b-a)^{2}}}|a+b-2x|,&xin [a,b],\0,&xnotin [a,b]end{matrix}}right..}

Смотрите также

TriangularDistribution

Использование раздачи

Треугольное распределение обычно используется как субъективное описание совокупности, для которой имеется только ограниченный объем выборочных данных, и особенно в случаях, когда взаимосвязь между переменными известна, но данных мало (возможно, из-за высокой стоимости сбора). Он основан на знании минимума и максимума, а также на «вдохновенном предположении» относительно модального значения. По этим причинам треугольное распределение было названо распределением «недостатка знаний».

Бизнес-симуляции

Поэтому треугольное распределение часто используется при принятии бизнес-решений , особенно при моделировании . Как правило, когда о распределении результата известно немного (например, только его наименьшее и наибольшее значения), можно использовать равномерное распределение . Но если известен наиболее вероятный исход, то его можно смоделировать с помощью треугольного распределения. См., Например, в разделе « Корпоративные финансы» .

Управление проектом

Треугольное распределение, наряду с распределением PERT , также широко используется в управлении проектами (в качестве входных данных для PERT и, следовательно, метода критического пути (CPM)) для моделирования событий, которые происходят в интервале, определяемом минимальным и максимальным значениями.

Аудио дизеринг

Симметричное треугольное распределение обычно используется в звуковом дизеринге , где оно называется TPDF (треугольная функция плотности вероятности).

Формирование луча

Треугольное распределение применяется для формирования луча и синтеза шаблонов.

Похожие темы

  • Сгенерируйте случайные числа Используя треугольное распределение
  • Распределения непараметрической и эмпирической вероятности
  • Работа с вероятностными распределениями
  • Поддерживаемые распределения

Внешние ссылки

  • Вайсштейн, Эрик В. «Треугольное распределение» . MathWorld .
  • Распределение треугольников , solutionsciences.org
  • Треугольное распределение , brighton-webs.co.uk

См.также

  • Теория вероятностей
  • Распределение вероятностей
Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...