Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Подготовка к ЕГЭ и ГИА по математике. Видеоуроки, справочные материалы, обучающие тесты

Свойство 1

Два угла прямоугольной трапеции обязательно являются прямыми, принадлежат одной боковой стороне, а вершины данных углов – смежные.

Для рисунка выше:

  • ∠BAD = ∠ABC = α = 90°
  • ∠BAD и ∠ABC принадлежат боковой стороне AB
  • Вершины A и B – смежные.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Похожее изображение

Свойства трапеции

Рассмотрим некоторые свойства трапеции.

1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Так как Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.

Поскольку Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияАналогично Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияСледовательно, трапеция – выпуклый четырехугольник. 

Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.

Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения – высота трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 – прямоугольная трапеция Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияОчевидно, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 – равнобокая трапеция Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Центр масс

Центр масс – это некоторое положение, определяемое относительно объекта или системы объектов и это среднее положение всех частей системы, взвешенное в соответствии с их массами.

Центр параллельных сил

Если на тело действует система параллельных сил Центр массЦентр масс,…, Центр масс, то точка Центр масс, через которую проходит равнодействующая Центр масс этой системы сил, называется центром параллельных сил (рис.9.1).

Центр масс

Координаты центра параллельных сил определяются по зависимостям:

Центр масс

Центр масс

где Центр масс – координаты точек приложения сил Центр масс.

Центр параллельных сил имеет ту особенность, что через него обязательно будет проходить линия действия равнодействующей при вращении линий действия всех сил системы вокруг точек их приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону. Модули сил при вращении не должны меняться.

Центр тяжести

Если твердое тело находится возле поверхности Земли, то на каждую материальную часть этого тела действует сила тяжести­ Центр масс, которая направлена к центру Земли. Поскольку размеры тела небольшие по сравнению с размерами Земли, то образованную систему сил можно рассматривать как параллельную. Равнодействующая этой параллельной системе сил Центр масс, которая равна их сумме, называется тяжестью тела, а центр этой системы – точка Центр масс называется центром тяжести тела (рис.9.2).

Координаты центра тяжести твердого тела можно определить как координаты центра параллельных сил:

Центр масс

Центр масс

где Центр масс – сила тяжести элементарной частицы тела;

Центр масс – тяжесть тела;

Центр масс – координаты центра тяжести;

Центр масс – координаты элементарной частицы тела.

Если тело однородное, то есть удельный вес не меняется по объему Центр масс, то:

Центр масс

где Центр масс – объем тела;

Центр масс – объем элементарной частицы.

Тогда формулы для определения координат центра тяжести твердого тела приобретут вид:

Центр масс

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от формы объема, что занимает тело, и называется центром тяжести этого объема.

Если однородное тело имеет форму тонкой пластины, то его можно рассматривать как материальную плоскую фигуру. В этом случае положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами Центр масс и Центр масс и зависит от формы площади фигуры:

Центр масс

где Центр масс – площадь элементарной части плоской фигуры;

Центр масс – площадь плоской фигуры.

Центр тяжести однородной пластины называется центром тяжести плоской фигуры.

Если выбранный элементарный объем Центр масс (площадь элементарной площадки в плоском случае) направить к нулю, то формулы для вычисления координат центра тяжести приобретут интегральный вид:

а) для однородного твердого тела:

Центр масс

где Центр масс – объем тела, интегрирование выполняется по всему объему тела;

б) для однородной поверхности:

Центр масс

где Центр масс – площадь поверхности, интегрирование выполняется по всей поверхности тела;

в) для однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости xy:

Центр масс

г) для однородной линии:

Центр масс

где Центр масс – длина линии, интегрирование выполняется по всей длине линии.

Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур

Для упрощения определения центра тяжести используются следующие вспомогательные правилами:

1. Если тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит на этой плоскости.
2. Если тело симметрично относительно оси, то центр тяжести лежит на этой оси.
3. Если тело симметрично относительно точки, то центр тяжести лежит в центре симметрии.
4. Если тело состоит из нескольких частей, центры тяжести которых можно определить, то центр тяжести такого тела находят как центр тяжести нескольких материальных точек, а именно тех, в которых расположены весы каждой отдельной части тела.

Центр тяжести дуги окружности

Центр тяжести дуги окружности Центр масс (рис.9.3) лежит на ее оси симметрии и на расстоянии Центр масс от центра окружности:

Центр масс

где Центр масс – радиус окружности;

Центр масс – половина центрального угла, опирающегося на дугу Центр масс.

Центр масс

Центр тяжести кругового сектора

Центр тяжести кругового сектора лежит на оси симметрии и имеет координаты:

Центр масс

где Центр масс – радиус окружности;

Центр масс – половина центрального угла сектора.

Центр масс

Центр тяжести кругового сегмента

Центр тяжести кругового сегмента лежит на оси симметрии сегмента и имеет координаты:

Центр масс

где Центр масс – радиус окружности;

Центр масс – половина центрального угла сегмента.

Центр масс

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника (рис. 9.6) лежит в точке пересечения его медиан – на расстоянии 1/3 каждой медианы от соответствующего основания треугольника.

Центр масс

Центр тяжести трапеции

Центр тяжести трапеции (рис.9.7) с основаниями Центр масс и Центр масс и высотой Центр масс лежит на прямой Центр масс, которая соединяет середины основ.

Центр масс

Расстояния Центр масс и Центр масс центра тяжести Центр масс площади трапеции от ее основ определяются по формулам:

Центр масс

Наиболее распространенный способ определения положения центра тяжести однородного тела сложной формы заключается в том, что его разбивают на такие части, положение центров тяжести которых известно, или может быть легко определено.

Например, однородную плоскую фигуру (рис.9.8) разбивают на три части 1,2 и 3, положения центров тяжести которых, Центр масс можно определить.

Центр масс

Координаты центра тяжести фигуры Центр масс определяются по формулам:

Центр масс

где Центр масс – координаты центра тяжести Центр масс первой части плоской фигуры;

Центр масс – площадь первой части и т.п.

Этим способом удобно пользоваться и при определении положения центра тяжести плоской фигуры, из которой вырезана некоторая часть (рис.9.9).

Центр масс

В этом случае площадь плоской фигуры можно записать в виде разницы площадей сплошной фигуры 1 (площадь положительная) и вырезанной части 2 (площадь отрицательная), то есть Центр масс .

Координаты центра тяжести фигуры равны:

Центр масс

где Центр масс – координаты центра тяжести сплошной фигуры 1, площадь которой равна Центр масс;

Центр масс – координаты центра тяжести вырезанной части 2, площадь которой равна – Центр масс.

Первый из этих методов имеет название “метод разбиения”, второй – “метод дополнения”, или “метод отрицательных масс”. В общем случае формулы для определения центра тяжести плоской фигуры имеют вид:

Центр масс

где Центр масс – площадь всей фигуры.

Примеры решения задач на тему: Центр масс

Задача № 1

Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры которого в сантиметрах указаны на рис.9.10.

Решение. Поскольку форма сечения имеет ось симметрии, ось Центр масс направим вдоль оси симметрии, а ось Центр масс перпендикулярно ей.

В силу симметричности профиля относительно оси Центр масс центр тяжести будет лежать на этой оси, то есть Центр масс

Линиями Центр масс и Центр масс поделим профиль на три прямоугольника 1, 2 и 3.

Запишем уравнение для определения абсциссы центра тяжести площади:

Центр масс

где Центр масс – абсциссы центров тяжести прямоугольников 1, 2, 3;

Центр масс – площади этих прямоугольников.

Центр масс

Поскольку центры тяжести прямоугольников Центр масс и Центр масс лежат на пересечении их диагоналей, то (рис.9.10):

Центр масс

Площади этих прямоугольников соответственно равны:

Центр масс

Тогда: 

Центр масс

Таким образом, центр тяжести фигуры лежит в точке Центр масс с координатами: Центр масс

Ответ: Центр масс

Задача № 2

Найти координаты центра тяжести поперечного пересечения разностороннего угольника (рис.9.11), полки которого имеют ширину Центр масс и толщину Центр масс

Центр масс

Решение. Разделим пересечение линией Центр масс на два прямоугольника Центр масс и Центр масс, центры тяжести которых лежат на пересечении соответствующих диагоналей.

Запишем формулы для координат Центр масс и Центр масс центра тяжести пересечения:

Центр масс

где Центр масс и Центр масс – координаты центров тяжести прямоугольников 1 и 2;

Центр массЦентр масс – площади прямоугольников 1 и 2.

С рис.9.11 видим, что

Центр масс

Тогда: 

Центр масс

Ответ: Центр масс

Задача № 3

Определить положение центра тяжести плоской фигуры (рис.9.12), ограниченной полуокружностью Центр масс радиуса Центр масс и двумя прямыми равной длины Центр масс и Центр масс, причем Центр масс

Центр масс

Решение. Данная площадь имеет ось симметрии, вдоль которой направим ось Центр масс. Поскольку центр тяжести площади Центр масс лежит на оси симметрии, то Центр масс

Разделим площадь Центр масс линией Центр масс на две части: полуокружность Центр масс и равнобедренный треугольник Центр масс.

Абсцисса центра тяжести площади Центр масс будет равняться:

Центр масс

где Центр масс – координата центра тяжести половины круга Центр масс;

Центр масс – координата центра тяжести треугольника Центр масс;

Центр массЦентр масс – площади половины круга и треугольника.

Для определения Центр масс воспользуемся приведенными в разделе 9.3.2 координатами центра тяжести кругового сектора

Центр масс

В случае половины круга Центр масс

Центр масс

Площадь половины круга равна:

Центр масс

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан (раздел 9.3.4). Поскольку треугольник Центр масс равнобедрен, то линия Центр масс будет его медианой и расстояние Центр масс будет равняться третьей части от Центр масс:

Центр масс

Площадь треугольника Центр масс равна:

Центр масс

Подставив найденные значения Центр массЦентр массЦентр масс и Центр масс в уравнение для Центр масс, получим:

Центр масс

Ответ: Центр масс

Задача № 4

Найти координаты центра тяжести квадратной пластины с вырезом в виде сегмента радиуса Центр масс (рис.9.13), если

Центр масс

Центр масс

Решение. Осью симметрии рассматриваемой фигуры будет диагональ Центр масс прямоугольника Центр масс

Поэтому направим ось Центр масс вдоль этой линии, а ось Центр масс – перпендикулярно (рис.9.13).

Центр тяжести пластины будет лежать на оси Центр масс, то есть Центр масс

Площадь фигуры Центр масс можно представить как разницу площадей квадрата Центр масс (положительная площадь) и сектора Центр масс (отрицательная площадь).

Абсцисса центра тяжести фигуры будет равняться:

Центр масс

где Центр масс – абсцисса центра тяжести квадрата Центр масс;

Центр масс – абсцисса центра тяжести сектора Центр масс;

Центр масс и Центр масс – площади квадрата и сектора.

Для квадрата Центр масс получим:

Центр масс

Как следует из рис. 9.13, Центр масс равняется

Центр масс

где Центр масс – расстояние от точки Центр масс к центру тяжести кругового сектора Центр масс.

Для кругового сектора (раздел 9.3.2) получим:

Центр масс

Поскольку Центр масс и Центр масс, то 

Центр масс

Таким образом, абсцисса Центр масс равняется:

Центр масс

Площадь кругового сектора Центр масс:

Центр масс

Подставив значение Центр массЦентр массЦентр масс и Центр масс в формулу для Центр масс, получим:

Центр масс

Ответ:  Центр масс

Задача № 5

Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной (рис.9.14) правой веткой параболы Центр масс, осью Центр масс и прямой Центр масс

Центр масс

Решение. На расстоянии Центр масс от оси Центр масс выделяем элементарную площадку Центр масс шириной Центр масс (заштрихованная область).

Площадь выделенной элементарной площадки будет равняться:

Центр масс

Площадь фигуры, что ограничена заданными линиями:

Центр масс

Поскольку точка Центр масс представляет собой пересечение параболы Центр масс и прямой Центр масс, то Центр масс

Отсюда: 

Центр масс

Тогда:

Центр масс

Абсцисса центра тяжести

Центр масс

Для определения координаты Центр масс выделим элементарную площадку Центр масс шириной Центр масс на расстоянии Центр масс от оси Центр масс.

Площадь выделенной площадки:

Центр масс

Ордината центра тяжести:

Центр масс

Тогда: 

Центр масс

Ответ: Центр масс

Какие обозначения приняты в представленных формулах?

Все величины, используемые в разных выражениях, которые описывают трапецию, удобно сразу оговорить и представить в таблице:

Величина Ее обозначение
a большее основание
b меньшее основание прямоугольной трапеции
c, h перпендикулярная к основаниям боковая сторона, высота
d наклонная боковая сторона
α острый угол
β тупой угол
м средняя линия трапеции
д1 меньшая диагональ
д2 большая диагональ

Свойство 2

Одна из боковых сторон прямоугольной трапеции перпендикулярна ее основаниям.

На рисунке выше: AB ⊥ AD и AB ⊥ BC.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2
Задание Средняя линия прямоугольной трапеции равна 10 см,а большая боковая сторона равна 12 см. Найти меньшее основание трапеции, если в нее вписана окружность.
Решение Если в трапецию вписана окружность, то суммы ее противоположных сторон равны:

    [AB+CD=BC+AD]

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому можно записать

    [12+CD=10cdot 2]

или

    [CD=8  cm]

Из Delta ABK найдем

    [AK=sqrt{A{{B}^{2}}-B{{K}^{2}}}=sqrt{144-64}=4sqrt{5}  cm]

Из условия задачи известно, что frac{AD+BC}{2}=10 см, из чего следует

    [AK+KD+BC=20]

или

    [KD+BC=20-4sqrt{5}]

Так как KD=BC, то BC=10-2sqrt{5} см.

Ответ BC=10-2sqrt{5} см

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 1800 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2.
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2. Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим  на два: (a – b)/2.

Свойство 4

Каждая из диагоналей прямоугольной трапеции делит ее на два треугольника, один из которых, также, является прямоугольным.

Диагонали прямоугольной трапеции

  • Диагональ AC делит трапецию на треугольники ABC и ACD, причем ΔABC является прямоугольным с прямым углом в вершине B.
  • Диагональ BD делит трапецию на ΔABD (прямоугольный) и ΔBCD.

Примечание: остальные свойства, которые применимы ко всем видам трапеций, приведены в нашей публикации – “Что такое трапеция: определение, виды, свойства”.

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ.
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*SАМЕ.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Алексей Шевчук

  • ведущий курсов и автор учебника ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж — 18 лет;
  • в 2021 году сдал ЕГЭ — 100 баллов (мат, физ) и 98 баллов (инф);
  • рейтинг на Профи.ру — «4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...