Таблицы Гаусса. Значения функции Гаусса для локальной теоремы Лапласа

Нормальный закон распределения – определение и вычисление с примерами решения

Характеристики распределения

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения {displaystyle mu } и масштаба {displaystyle sigma } (или, что тоже самое, дисперсией {displaystyle sigma ^{2}}) имеет следующий вид:

{displaystyle p(x)={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}exp left(-{frac {(x-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right).}

Функция распределения такой величины не выражается через элементарные функции и записывается по определению через интеграл Римана как

{displaystyle F(x)={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}int _{-infty }^{x}exp left(-{frac {(t-mu )^{2}}{2sigma ^{2}}}right)dt.}

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т. е. при {displaystyle mu =0, sigma =1}) часто обзначают как {displaystyle operatorname {Phi } (cdot )}:

{displaystyle operatorname {Phi } (x)=F(x;0,1)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int _{-infty }^{x}exp left(-{frac {t^{2}}{2}}right)dt.}

Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через {displaystyle operatorname {Phi } (cdot )}:

{displaystyle F(x;mu ,sigma )=operatorname {Phi } left({frac {x-mu }{sigma }}right).}

Характеристическая функция нормального распределения имеет вид

{displaystyle f(t)=operatorname {E} {e^{itxi }}=exp left(imu t-{frac {sigma ^{2}t^{2}}{2}}right),}

где {displaystyle xi sim N(mu ,sigma ^{2})} — нормально распредёленная с параметрами {displaystyle mu } и {displaystyle sigma } случайная величина.

Производящая функция моментов {displaystyle xi } определена для всех вещественных t задаётся формулой

{displaystyle M(t)=operatorname {E} {e^{txi }}=exp left(mu t+{frac {sigma ^{2}t^{2}}{2}}right).}

Процентили стандартного нормального распределения

Процентили стандартного нормального распределения задаются уравнением

{displaystyle Phi (z_{alpha })=alpha ,quad alpha in [0,1]}.

Ниже суммированы значения процентилей для наиболее чaсто встречающихся значений {displaystyle alpha }.

{displaystyle alpha } 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95
{displaystyle z_{alpha }} −1,6449 −1,2816 −1,0364 −0,8416 −0,6745 −0,5244 −0,3853 −0,2533 −0,1257 0 0,1257 0,2533 0,3853 0,5244 0,6745 0,8416 1,0364 1,2816 1,6449

Примеры решений

Задача 1. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения. Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см.
1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см.
2) Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?

Задача 2. Рост мальчиков возрастной группы 15 лет есть нормально распределённая случайная величина $X$ с параметрами $a=161$ см и $sigma=4$ см.
1) Найти функцию плотности вероятности случайной величины $X$ и построить её график.
2) Какую долю костюмов для мальчиков, имеющих рост от 152 до 158 см, нужно предусмотреть в объёме производства для данной возрастной группы.
3) Сформулировать правило трёх сигм для случайной величины $X$.

Задача 3. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г?

Задача 4. В нормально распределенной совокупности 15% значений x меньше 12 и 40% значений x больше 16.2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.

Задача 5. Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 870 тонн и стандартным отклонением 90 тонн.
а) Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты по крайней мере 900 тонн угля.
б) Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от 860 до 940 тонн угля.
в) Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 750 тонн.

Задача 6. Станок изготовляет шарики для подшипников. Шарик считается годным, если отклонение $X$ диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,5 мм. Считая, что случайная величина $X$ распределена нормально со средним квадратическим отклонением $sigma = 0,25$ мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

Задача 7. Требуется найти вероятности того, что нормально распределённая случайная величина $X in N (a, sigma)$, где $a=4$ – математическое ожидание, $sigma=5$ – среднее квадратичное отклонение случайной величины $X$, принимает значения:
а) в интервале (2,8);
б) меньшее 2;
в) большее 8;
г) отличающееся от своего математического ожидания по абсолютной величине не больше чем на 10%.

Задача 8. Случайная величина X распределена по нормальному закону $N[-1,2]$. Вычислить
1) вероятность того, что $Xin[-6,1]$
2) вероятность того, что при пяти испытаниях три раза $Xin[M,M +D]$.

Задача 9. С.в. $Y$ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 2, и средним квадратическим отклонением, равным 1. Пусть $X=2Y+5$. Найдите вероятности $P(X gt 10)$, $P(2lt X lt 5)$, $P(X=3)$.
Напишите функции плотности и распределения для $X$ и постройте их графики. Как выглядит правило «трех сигм» для с.в. $X$?

Задача 10. Заданы функция плотности нормального распределения $f(x)=A e^{-9(x-0.5)^2/8}$ и интервал $(0,3; 1,9)$. Требуется:
1) найти математическое ожидание $m$
2) найти среднее квадратическое отклонение $sigma$ и дисперсию $D$
3) найти неизвестный коэффициент $A$
4) найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
5) построить график функции плотности и на нём отметить площадь, равную найденной вероятности.

Задача 11. Плотность распределения вероятностей нормальной случайной величины $X$ имеет вид $f(x)=gamma e^{-x^2+6x+3}$. Требуется найти:
А) неизвестный параметр $gamma$,
Б) математическое ожидание $M[X]$ и дисперсию $D[X]$,
В) вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал (3, 4),
Г) вероятность выполнения неравенства $|X-M[X]| lt 0.2$.

Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей

Определения

Стандартное нормальное распределение

Наиболее простой случай нормального распределения — стандартное нормальное распределение — частный случай, когда μ=0{displaystyle mu =0}mu =0 и σ=1.{displaystyle sigma =1.}{displaystyle sigma =1.} Его плотность вероятности равна:

φ(x)=12πe−12×2.{displaystyle varphi (x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}.}{displaystyle varphi (x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}e^{-{frac {1}{2}}x^{2}}.}

Множитель 12π{displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}}{displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}} в выражении обеспечивает условие нормировки интеграла ∫−∞+∞φ(x)dx=1{displaystyle int limits _{-infty }^{+infty }varphi (x),dx=1}{displaystyle int limits _{-infty }^{+infty }varphi (x),dx=1}[5]. Поскольку множитель 12{displaystyle {frac {1}{2}}}{displaystyle {frac {1}{2}}} в экспоненте обеспечивает дисперсию равную единице, то и стандартное отклонение равно 1. Функция симметрична в точке x=0,{displaystyle x=0,}x=0, её значение в ней максимально и равно 12π.{displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}.}{displaystyle {frac {1}{sqrt {2pi }}}.} Точки перегиба функции: x=+1{displaystyle x=+1}{displaystyle x=+1} и x=−1.{displaystyle x=-1.}{displaystyle x=-1.}

Гаусс называл стандартным нормальным распределение с σ2=1/2,{displaystyle sigma ^{2}=1/2,}{displaystyle sigma ^{2}=1/2,} то есть:

φ(x)=e−x2π.{displaystyle varphi (x)={frac {e^{-x^{2}}}{sqrt {pi }}}.}{displaystyle varphi (x)={frac {e^{-x^{2}}}{sqrt {pi }}}.}

Нормальное распределение с параметрами μ,σ{displaystyle mu ,sigma }{displaystyle mu ,sigma }

Каждое нормальное распределение — это вариант стандартного нормального распределения, область значений которого растягивается множителем σ{displaystyle sigma }sigma (стандартное отклонение) и переносится на μ{displaystyle mu }mu (математическое ожидание):

f(x∣μ,σ2)=1σφ(x−μσ).{displaystyle f(xmid mu ,sigma ^{2})={frac {1}{sigma }}varphi left({frac {x-mu }{sigma }}right).}{displaystyle f(xmid mu ,sigma ^{2})={frac {1}{sigma }}varphi left({frac {x-mu }{sigma }}right).}

μ,σ{displaystyle mu ,sigma }{displaystyle mu ,sigma } являются параметрами нормального распределения. Плотность вероятности должна нормироваться 1σ,{displaystyle {frac {1}{sigma }},}{displaystyle {frac {1}{sigma }},} так что интеграл равен 1.

Если Z{displaystyle Z}Z — стандартная нормальная случайная величина, то величина X=σZ+μ{displaystyle X=sigma Z+mu }{displaystyle X=sigma Z+mu } будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием μ{displaystyle mu }mu и стандартным отклонением σ.{displaystyle sigma .}sigma. Наоборот, если X{displaystyle X}X — нормальная величина с параметрами μ{displaystyle mu }mu и σ2,{displaystyle sigma ^{2},}{displaystyle sigma ^{2},} то Z=X−μσ{displaystyle Z={frac {X-mu }{sigma }}}{displaystyle Z={frac {X-mu }{sigma }}} будет иметь стандартное нормальное распределение.

Если в экспоненте плотности вероятности раскрыть скобки и учитывать, что 1=ln⁡e{displaystyle 1=ln e}{displaystyle 1=ln e}, то:

f(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2=e−12(2ln⁡σ+ln⁡2π+(x−μσ)2)=e−12(x2σ2−2μxσ2+2ln⁡σ+ln⁡2π+μ2σ2).{displaystyle f(x)={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}e^{-{frac {1}{2}}left({frac {x-mu }{sigma }}right)^{2}}=e^{-{frac {1}{2}}left(2ln sigma +ln 2pi +({frac {x-mu }{sigma }}right)^{2})}=e^{-{frac {1}{2}}left({frac {x^{2}}{sigma ^{2}}}-2{frac {mu x}{sigma ^{2}}}+2ln sigma +ln 2pi +{frac {mu ^{2}}{sigma ^{2}}}right)}.}{displaystyle f(x)={frac {1}{sigma {sqrt {2pi }}}}e^{-{frac {1}{2}}left({frac {x-mu }{sigma }}right)^{2}}=e^{-{frac {1}{2}}left(2ln sigma +ln 2pi +({frac {x-mu }{sigma }}right)^{2})}=e^{-{frac {1}{2}}left({frac {x^{2}}{sigma ^{2}}}-2{frac {mu x}{sigma ^{2}}}+2ln sigma +ln 2pi +{frac {mu ^{2}}{sigma ^{2}}}right)}.}

Таким образом, плотность вероятности каждого нормального распределения представляет собой экспоненту квадратичной функции:

f(x)=eax2+bx+c,{displaystyle f(x)=e^{ax^{2}+bx+c},}{displaystyle f(x)=e^{ax^{2}+bx+c},}где a=−12σ2, b=μσ2, c=−(ln⁡σ+12ln⁡2π+12μ2σ2).{displaystyle a=-{frac {1}{2sigma ^{2}}}, b={frac {mu }{sigma ^{2}}}, c=-left(ln sigma +{frac {1}{2}}ln 2pi +{frac {1}{2}}{frac {mu ^{2}}{sigma ^{2}}}right).}{displaystyle a=-{frac {1}{2sigma ^{2}}}, b={frac {mu }{sigma ^{2}}}, c=-left(ln sigma +{frac {1}{2}}ln 2pi +{frac {1}{2}}{frac {mu ^{2}}{sigma ^{2}}}right).}

Отсюда можно выразить среднее значение как μ=−b2a,{displaystyle mu =-{frac {b}{2a}},}{displaystyle mu =-{frac {b}{2a}},} а дисперсию как σ2=−12a.{displaystyle sigma ^{2}=-{frac {1}{2a}}.}{displaystyle sigma ^{2}=-{frac {1}{2a}}.} Для стандартного нормального распределения a=−1/2,{displaystyle a=-1/2,}{displaystyle a=-1/2,} b=0{displaystyle b=0}b=0 и c=−12ln⁡2π.{displaystyle c=-{frac {1}{2}}ln 2pi .}{displaystyle c=-{frac {1}{2}}ln 2pi .}

Обозначение

Плотность вероятности стандартного нормального распределения (с нулевым средним и единичной дисперсией) часто обозначается греческой буквой ϕ{displaystyle phi }phi (фи)[6]. Также достаточно часто используется альтернативная формы греческой буквы фи φ{displaystyle varphi }varphi.

Нормальное распределение часто обозначается N(μ,σ2),{displaystyle N(mu ,sigma ^{2}),}{displaystyle N(mu ,sigma ^{2}),} или N(μ,σ2){displaystyle {mathcal {N}}(mu ,sigma ^{2})}{displaystyle {mathcal {N}}(mu ,sigma ^{2})}[7]. Если случайная величина X{displaystyle X}X распределена по нормальному закону со средним μ{displaystyle mu }mu и вариацией σ2,{displaystyle sigma ^{2},}{displaystyle sigma ^{2},} то пишут:

X∼N(μ,σ2).{displaystyle Xsim {mathcal {N}}(mu ,sigma ^{2}).}{displaystyle Xsim {mathcal {N}}(mu ,sigma ^{2}).}

Функция распределения

Функция распределения стандартного нормального распределения обычно обозначается заглавной греческой буквой Φ{displaystyle Phi }Phi (фи) и представляет собой интеграл:

Φ(x)=12π∫−∞xe−t2/2dt.{displaystyle Phi (x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-infty }^{x}e^{-t^{2}/2},dt.}{displaystyle Phi (x)={frac {1}{sqrt {2pi }}}int limits _{-infty }^{x}e^{-t^{2}/2},dt.}

С ней связана функция ошибок (интеграл вероятности) erf⁡(x),{displaystyle operatorname {erf} (x),}{displaystyle operatorname {erf} (x),} дающий вероятность того, что нормальная случайная величина со средним 0 и вариацией 1/2 попадёт в отрезок [−x,x]{displaystyle [-x,x]}{displaystyle [-x,x]}:

erf⁡(x)=2π∫0xe−t2dt.{displaystyle operatorname {erf} (x)={frac {2}{sqrt {pi }}}int limits _{0}^{x}e^{-t^{2}},dt.}{displaystyle operatorname {erf} (x)={frac {2}{sqrt {pi }}}int limits _{0}^{x}e^{-t^{2}},dt.}

Эти интегралы не выражаются в элементарных функциях и называются специальными функциями. Многие их численные приближения известны. См. ниже.

Функции связаны, в частности, соотношением:

Φ(x)=12[1+erf⁡(x2)]{displaystyle Phi (x)={frac {1}{2}}left[1+operatorname {erf} left({frac {x}{sqrt {2}}}right)right]}{displaystyle Phi (x)={frac {1}{2}}left[1+operatorname {erf} left({frac {x}{sqrt {2}}}right)right]}.

Нормальное распределение с плотностью f,{displaystyle f,}f, средним μ{displaystyle mu }mu и отклонением σ{displaystyle sigma }sigma имеет следующую функцию распределения:

F(x)=Φ(x−μσ)=12[1+erf⁡(x−μσ2)].{displaystyle F(x)=Phi left({frac {x-mu }{sigma }}right)={frac {1}{2}}left[1+operatorname {erf} left({frac {x-mu }{sigma {sqrt {2}}}}right)right].}{displaystyle F(x)=Phi left({frac {x-mu }{sigma }}right)={frac {1}{2}}left[1+operatorname {erf} left({frac {x-mu }{sigma {sqrt {2}}}}right)right].}

Можно использовать функцию Q(x)=1−Φ(x){displaystyle Q(x)=1-Phi (x)}{displaystyle Q(x)=1-Phi (x)} — она даст вероятность того, что значение стандартной нормальной случайной величины X{displaystyle X}X превысит x{displaystyle x}x:

P(X>x){displaystyle P(X>x)}{displaystyle P(X>x)}.

График стандартной нормальной функции распределения Φ{displaystyle Phi }Phi имеет 2-кратную вращательную симметрию относительно точки (0;1/2), то есть Φ(−x)=1−Φ(x).{displaystyle Phi (-x)=1-Phi (x).}{displaystyle Phi (-x)=1-Phi (x).} Её неопределенный интеграл равен:

∫Φ(x)dx=xΦ(x)+φ(x)+C.{displaystyle int Phi (x),dx=xPhi (x)+varphi (x)+C.}{displaystyle int Phi (x),dx=xPhi (x)+varphi (x)+C.}

Функция распределения стандартной нормальной случайной величины может быть разложена с помощью метода интегрирования по частям в ряд:

Φ(x)=12+12π⋅e−x2/2[x+x33+x53⋅5+⋯+x2n+1(2n+1)!!+⋯],{displaystyle Phi (x)={frac {1}{2}}+{frac {1}{sqrt {2pi }}}cdot e^{-x^{2}/2}left[x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{3cdot 5}}+cdots +{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}+cdots right],}{displaystyle Phi (x)={frac {1}{2}}+{frac {1}{sqrt {2pi }}}cdot e^{-x^{2}/2}left[x+{frac {x^{3}}{3}}+{frac {x^{5}}{3cdot 5}}+cdots +{frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!!}}+cdots right],}

где знак !!{displaystyle !!}{displaystyle !!} означает двойной факториал.

Асимптотическое разложение функции распределения для больших x{displaystyle x}x может быть также произведено интегрированием по частям.

Стандартное отклонение

Правило 68-95-99,7. Для нормального распределения количество значений, отличающиеся от среднего на число, меньшее чем одно стандартное отклонение, составляют 68,27 % выборок. В то же время количество значений, отличающиеся от среднего на два стандартных отклонения, составляют 95,45 %, а на три стандартных отклонения — 99,73 %.

Правило 68-95-99,7.
Для нормального распределения количество значений, отличающиеся от среднего на число, меньшее чем одно стандартное отклонение, составляют 68,27 % выборок. В то же время количество значений, отличающиеся от среднего на два стандартных отклонения, составляют 95,45 %, а на три стандартных отклонения — 99,73 %.

Около 68 % значений из нормального распределения находятся на расстоянии не более одного стандартного отклонения σ от среднего; около 95 % значений лежат расстоянии не более двух стандартных отклонений; и 99,7 % не более трёх. Этот факт является частным случаем правила 3 сигм для нормальной выборки.

Более точно, вероятность получить нормальное число в интервале между μ−nσ{displaystyle mu -nsigma }{displaystyle mu -nsigma } и μ+nσ{displaystyle mu +nsigma }{displaystyle mu +nsigma } равна:

F(μ+nσ)−F(μ−nσ)={displaystyle F(mu +nsigma )-F(mu -nsigma )=}{displaystyle F(mu +nsigma )-F(mu -nsigma )=}Φ(n)−Φ(−n)=erf⁡(n2).{displaystyle Phi (n)-Phi (-n)=operatorname {erf} left({frac {n}{sqrt {2}}}right).}{displaystyle Phi (n)-Phi (-n)=operatorname {erf} left({frac {n}{sqrt {2}}}right).}

С точностью до 12 значащих цифр значения для n=1,2,…,6{displaystyle n=1,2,ldots ,6}{displaystyle n=1,2,ldots ,6} приведены в таблице[8]:

n{displaystyle n}n p=F(μ+nσ)−F(μ−nσ){displaystyle p=F(mu +nsigma )-F(mu -nsigma )}{displaystyle p=F(mu +nsigma )-F(mu -nsigma )} 1−p{displaystyle 1-p}1-p 11−p{displaystyle {frac {1}{1-p}}}{displaystyle {frac {1}{1-p}}} OEIS
1 0,682689492137 0,317310507863 A178647
2 0,954499736104 0,045500263896 A110894
3 0,997300203937 0,002699796063 A270712
4 0,999936657516 0,000063342484
5 0,999999426697 0,000000573303
6 0,999999998027 0,000000001973

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины X выражается формулой

f(x)=frac{1}{sigmasqrt{2pi}}exp!left(-frac{(x-a)^2}{2sigma^2}right).

(8.1)

Кривая распределения изображена на рис. 16. Она симметрична относительно точки x=a (точка максимума). При уменьшении sigma ордината точки максимума неограниченно возрастает, при этом кривая пропорционально сплющивается вдоль оси абсцисс, так что площадь под её графиком остаётся равной единицы (рис. 17).

Кривые распределения нормального закона (закон Гаусса)

Нормальный закон распределения широко применяется в задачах практики. Объяснить причины этого впервые удалось Ляпунову. Он показал, что если случайная величина может рассматриваться как сумма большого числа малых слагаемых, то при достаточно общих условиях закон распределения этой случайной величины близок к нормальному независимо от того, каковы законы распределения отдельных слагаемых. А так как практически случайные величины в большинстве случаев бывают результатом действия множества причин, то нормальный закон оказывается наиболее распространённым законом распределения (подробнее об этом [url]см. часть 9[/url]). Укажем числовые характеристики нормально распределённой случайной величины (математическое ожидание и дисперсия):

M(X)=a;qquad D[X]=sigma^2.

Таким образом, параметры a и sigma в выражении (8.1) нормального закона распределения представляют собой математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Принимая это во внимание, формулу (8.1) можно представить следующим образом:

f(x)=frac{1}{sqrt{2pi{D[X]}}}exp!left(-frac{(x-M(X))^2}{2D[X]}right).

Эта формула показывает, что нормальный закон распределения полностью определяется математическим ожидание и дисперсией случайной величины. Таким образом, математическое ожидание и дисперсия полностью характеризуют нормально распределённую случайную величину. Разумеется, что в общем случае, когда характер закона распределения неизвестен, знание математического ожидания и дисперсии недостаточно для определения этого закона распределения.

Характеристическая функция нормального распределения случайной величины задаётся формулой

g(s)=exp!left(ias-frac{1}{2}sigma^2s^2right).

Пример 1. Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина X удовлетворяет неравенству alpha<X<beta.

Решение. Используя свойство 3 плотности вероятности (см. раздел 4, часть 4), получаем

{P{alpha<X<beta}=intlimits_{alpha}^{beta}f(x),dx=frac{1}{sigmasqrt{2pi}}intlimits_{alpha}^{beta}exp!left(-frac{(x-a)^2}{2sigma^2}right)!dx.}

Положим frac{x-a}{sigma}=t, тогда

{P{alpha<X<beta}=frac{1}{sigmasqrt{2pi}}intlimits_{tfrac{beta-a}{sigma}}^{tfrac{alpha-a}{sigma}}sigmaexp!left(-frac{t^2}{2}right)!dt=Phi!left(frac{beta-a}{sigma}right)-Phi!left(frac{alpha-a}{sigma}right).}

где Phi(x) — функция Лапласа.

График плотности вероятности стандартизированной нормальной величины

Выполним некоторые числовые расчёты. Если положить alpha=a-3sigma;~beta=a+3sigma в условии примера 1, то

{P{a-3sigma <X<a+3sigma}=2Phi(3)=0,!9973.}

Последний результат означает, что с вероятностью, близкой к единице (0,9973), случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, не выходит за пределы интервала (a-3sigma;a+3sigma). Это утверждение называют правилом трёх сигм.

Наконец, если a=0,~sigma=1, то случайная величина, распределённая по нормальному закону с такими параметрами, называется стандартизированной нормальной величиной. На рис. 18 изображён график плотности вероятности этой величины

f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}}exp!left(-frac{x^2}{2}right).

Примеры с использованием нормального закона распределения приведены также в части 9.

Моделирование нормальных случайных величин

Неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения.

Тем не менее, использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

Вероятность

Вероятность, что подброшенная монета упадёт орлом вверх 50%, что при броске шестигранного кубика выпадет 4 – 16,7%, что завтра на кого-нибудь упадёт метеорит – 0.00000000294%. Это простые примеры, достаточно разделить количество желаемых событий на общее количество случаев и мы получаем вероятность события, но когда результаты эксперимента могут быть не только орлом или решкой (что эквивалентно да/нет), а большим набором данных. Например, вес батона хлеба, если мы возьмём в магазине 1000 буханок хлеба и взвесим каждую, то мы узнаем, что на самом деле батон не весит 400 грамм, результаты будут варьироваться в диапазоне 384-416 грамм (допуск разброса веса предусмотрен ГОСТом).

Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению

Поскольку нормальное распределение часто встречается на практике, то для него разработаны специальные статистические критерии: критерий Пирсона, критерий Колмогорова — Смирнова и др.

Гамма-распределение

Говорят, что случайная величина X имеет гамма-распределение с параметрами a>0 и b>0, если её плотность распределения вероятностей имеет вид

f(x)=begin{cases}0,&xleqslant0;\dfrac{b^a}{Gamma(a)}x^{a-1}e^{-bx},&x>0.end{cases}

где

Gamma(a)=intlimits_{0}^{infty}t^{a-1}e^{-t},dt

— гамма-функция Эйлера.

На рис. 20 показаны кривые распределения вероятностей при значениях параметра a>1 и a<1 (при a=1 получаем экспоненциальное распределение).

График кривых гамма-распределения вероятностей

Математическое ожидание и дисперсия, подчинённые гамма-распределению, задаются формулами

M(X)=frac{a}{b};qquad D[X]=frac{a}{b^2}.

Отметим, что при a>1 гамма-распределение имеет моду

M_o=frac{a-1}{b}

(графически это означает, что кривая распределения имеет точку максимума x=M_o, рис. 20).

Нормальное распределение в природе и приложениях

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

  • отклонение при стрельбе;
  • погрешности измерений (однако погрешности некоторых измерительных приборов имеют иное распределение);
  • некоторые характеристики живых организмов в популяции.

Такое широкое распространение этого распределения связано с тем, что оно является бесконечно делимым непрерывным распределением с конечной дисперсией. Поэтому к нему в пределе приближаются некоторые другие, например биномиальное и пуассоновское. Этим распределением моделируются многие недетерминированные физические процессы[13].

Многомерное нормальное распределение используется при исследовании многомерных случайных величин (случайных векторов). Одним из многочисленных примеров таких приложений является исследование параметров личности человека в психологии и психиатрии.

Курьёзы с нормальным распределением

В популярных психологических тестах часто используются списки вопросов, ответы на которые соответствуют определённым количествам баллов, которые затем суммируются. В зависимости от суммы, испытуемого причисляют к той или иной категории. Оказывается, что согласно центральной предельной теореме, если вопросы не имеют никакого смысла и никак не соотносятся с теми категориями, к которым причисляют испытуемых, а ответы случайны (то есть, если тест фальшивый), то распределение сумм окажется приближенно нормальным, а это значит, что большинство испытуемых окажутся причислены к некоей средней категории.

Поэтому, если в каком-то тесте вы (да ещё и ваши знакомые) оказались посередине шкалы, знайте, что это, вполне возможно, сработало нормальное распределение, а тест ничего не значит.

См. также

  • Аддитивный белый гауссовский шум
  • Логнормальное распределение
  • Центральная предельная теорема

ar:توزيع احتمالي طبيعيbs:Normalna distribucijaca:Distribució normalcs:Normální rozdělenícy:Dosraniad normalda:Normalfordelingeo:Normala distribuofa:توزیع نرمالgl:Distribución normalhe:התפלגות נורמליתhr:Normalna raspodjelahu:Normális eloszlásid:Distribusi normalis:Normaldreifinglt:Normalusis skirstinyslv:Normālsadalījumsnl:Normale verdelingno:Normalfordelingpl:Rozkład normalnysimple:Normal distributionsr:Нормална расподелаsu:Sebaran normalsv:Normalfördelninguk:Нормальний розподілur:معمول توزیعvi:Phân bố chuẩn

Нормальное распределение и расчёты в MS Excel

Значения функции плотности f(x) и интегральной функции F(x) нормального распределения можно вычислить при помощи функции MS Excel НОРМ.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

окно ms excel для расчёта нормального распределения

MS Excel требует ввести следующие данные:

  • x – значение изменяющегося признака;
  • среднее значение;
  • стандартное отклонение;
  • интегральная – логическое значение: 0 – если нужно вычислить функцию плотности f(x) и 1 – если вероятность F(x).

Примечания

  1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — 10-е изд., стереотипное.. — М.: Academia, 2005. — 576 с. — ISBN 5-7695-2311-5.
  2. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980.
  3. 1 2 Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 139—140.
  4. Wasserman L. All of Statistics. — New York, NY: Springer, 2004. — С. 142. — 433 с. — ISBN 978-1-4419-2322-6.
  5. Доказательство см. Гауссов интеграл
  6. Halperin, Hartley & Hoel, 1965, item 7.
  7. McPherson (1990)
  8. Wolfram|Alpha: Computational Knowledge Engine (неопр.). Wolframalpha.com. Дата обращения: 3 марта 2017.
  9. Bryc (1995, p. 23)
  10. Bryc (1995, p. 24)
  11. Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. Elements of Information Theory. — John Wiley and Sons, 2006. — С. 254.
  12. Park, Sung Y.; Bera, Anil K. Maximum Entropy Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model (англ.) // Journal of Econometrics  (англ.) (рус. : journal. — Elsevier, 2009. — P. 219—230. Архивировано 7 марта 2016 года.
  13. Талеб Н. Н. Чёрный лебедь. Под знаком непредсказуемости = The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. — КоЛибри, 2012. — 525 с. — ISBN 978-5-389-00573-0.
  14. Королюк, 1985, с. 135.
  15. Галкин В. М., Ерофеева Л. Н., Лещева С. В. Оценки параметра распределения Коши // Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева. — 2014. — № 2(104). — С. 314—319. — УДК 513.015.2(G).
  16. Lukacs, Eugene. A Characterization of the Normal Distribution (англ.) // The Annals of Mathematical Statistics  (англ.) (рус. : journal. — 1942. — Vol. 13, no. 1. — P. 91—3. — ISSN 0003-4851. — doi:10.1214/aoms/1177731647. — JSTOR 2236166.
  17. Lehmann, E. L. Testing Statistical Hypotheses. — 2nd. — Springer  (англ.) (рус., 1997. — С. 199. — ISBN 978-0-387-94919-2.
  18. The doctrine of chances; or, a method of calculating the probability of events in play, L., 1718, 1738, 1756; L., 1967 (репродуцир. изд.); Miscellanea analytica de scriebus et quadraturis, L., 1730.

Ссылки

  • Таблица значений функции стандартного нормального распределения
  • Онлайн расчёт вероятности нормального распределения
modif.png Эта страница в последний раз была отредактирована 24 ноября 2021 в 10:49.

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...