Скалярное произведение векторов онлайн

Сервис позволяет производить скалярное произведение векторов онлайн с подробным решением

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Основные определения

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

Формула

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Определение скалярного произведения векторов.
Свойства скалярного произведения. Типовые задачи

Понятие скалярного произведения

Сначала про угол между векторами. Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Рассмотрим свободные ненулевые векторы skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image002.gif и skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image004.gif.  Если отложить данные векторы от произвольной точки skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image006.gif, то получится картинка, которую многие уже представили мысленно:
Угол между векторами

Признаюсь, здесь я обрисовал ситуацию только на уровне понимания. Если необходимо строгое определение угла между векторами, пожалуйста, обратитесь к учебнику, для практических же задач оно нам, в принципе, ни к чему. Также ЗДЕСЬ И ДАЛЕЕ я буду местами игнорировать нулевые векторы ввиду их малой практической значимости. Оговорку сделал специально для продвинутых посетителей сайта, которые могут меня упрекнуть в теоретической неполноте некоторых последующих утверждений. 

Угол между векторами skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image010.gif может принимать значения от 0 до 180 градусов (от 0 до skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image012.gif радиан) включительно. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image014.gif либо skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image016.gif (в радианах).

В литературе значок угла skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image018.gif часто пропускают и пишут просто skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image020.gif.

Определение: Скалярным произведением двух векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image002_0000.gif и skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image004_0000.gif называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Формула скалярного произведения

Вот это вот уже вполне строгое определение.

Акцентируем внимание на существенной информации:

Обозначение: скалярное произведение обозначается через skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image025.gif или просто skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image027.gif.

Результат операции является ЧИСЛОМ: Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image029.gif – это числа, косинус угла – число, то их произведение skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image031.gif тоже будет числом.

Сразу пара разминочных примеров:

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image002_0001.gif и skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image004_0001.gif, если skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image034.gif

Решение: Используем формулу skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image036.gif. В данном случае:
skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image038.gif

Ответ: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image040.gif

Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице. Рекомендую её распечатать – потребуется практически во всех разделах вышки и потребуется много раз.

Чисто с математической точки зрения скалярное произведение безразмерно, то есть результат, в данном случае skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image042.gif, просто число и всё. С точки же зрения задач физики скалярное произведение всегда имеет определенный физический смысл, то есть после результата нужно указать ту или иную физическую единицу. Канонический пример по вычислению работы силы  можно найти в любом учебнике (формула в точности представляет собой скалярное произведение). Работа силы измеряется в Джоулях, поэтому, и ответ запишется вполне конкретно, например, skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image044.gif.

Пример 2

Найти skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image046.gif, если skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image048.gif, а угол между векторами равен skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image050.gif.

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока.

Угол между векторами и значение скалярного произведения

В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 – отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image052.gif. Длины ненулевых векторов всегда положительны: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image054.gif, поэтому знак может зависеть только от значения косинуса.

Примечание: Для более качественного понимания нижеприведенной информации лучше изучить график косинуса в методичке Графики и свойства функции. Посмотрите, как ведёт себя косинус на отрезке skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image056.gif.

Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image058.gif, и при этом возможны следующие случаи:

1) Если угол между векторами острый: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image060.gif  (от 0 до 90 градусов), то skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image062.gif, и скалярное произведение будет положительным: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image064.gif. Особый случай: если векторы сонаправлены, то угол между ними считается нулевым skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image066.gif, и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image068.gif, то формула упрощается: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image070.gif.

2) Если угол между векторами тупой: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image072.gif  (от 90 до 180 градусов), то skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image074.gif, и, соответственно, скалярное произведение отрицательно: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image076.gif. Особый случай: если векторы направлены противоположно, то угол между ними считается развёрнутым: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image078.gif (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image080.gif

Справедливы и обратные утверждения:

1) Если skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image064_0000.gif, то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.

2) Если skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image076_0000.gif, то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно.

Но особый интерес представляет третий случай:

3) Если угол между векторами прямой: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image082.gif (90 градусов), то skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image084.gif и скалярное произведение равно нулю: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image086.gif. Обратное тоже верно: если skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image086_0000.gif, то skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image082_0000.gif. Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны. Короткая математическая запись: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image090.gif

! Примечание: повторим основы математической логики: двусторонний значок логического следствия skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image092.gif обычно читают «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Как видите, стрелки направлены в обе стороны – «из этого следует это, и обратно –  из того, следует это». В чём, кстати, отличие от одностороннего значка следования skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image094.gif? Значок skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image094_0000.gif утверждает, только то, что «из этого следует это», и не факт, что обратное справедливо. Например: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image096.gif, но не каждый зверь является пантерой, поэтому в данном случае нельзя использовать значок skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image092_0000.gif. В то же время, вместо значка skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image092_0001.gif можно использовать односторонний значок. Например, решая задачу, мы выяснили, что skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image098.gif и сделали вывод, что векторы ортогональны: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image100.gif – такая запись будет корректной, и даже более уместной, чем skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image090_0000.gif.

Третий случай имеет большую практическую значимость, поскольку позволяет проверить, ортогональны векторы или нет. Данную задачу мы решим во втором разделе урока.

Скалярный квадрат вектора
Свойства скалярного произведения

Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены. В этом случае угол между ними равен нулю, skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image068_0000.gif, и формула скалярного произведения принимает вид: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image102.gif.

А что будет, если вектор skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image104.gif умножить на самого себя? Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой:
skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image106.gif

Или: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image108.gif

Число skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image110.gif называется скалярным квадратом вектора skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image104_0000.gif, и обозначатся как skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image113.gif.

Таким образом, скалярный квадрат вектора skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image104_0001.gif равен квадрату длины данного вектора:
Скалярный квадрат вектора

Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:
skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image117.gif

Пока она кажется малопонятной, но задачи урока всё расставят на свои места. Для решения задач нам также потребуются свойства скалярного произведения.

Для произвольных векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image119.gif и любого числа skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image121.gif справедливы следующие свойства:

1) skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image123.gif – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2) skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image125.gif – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image127.gif – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.

Зачастую, всевозможные свойства (которые ещё и доказывать надо!) воспринимаются студентами как ненужный хлам, который лишь необходимо вызубрить и сразу после экзамена благополучно забыть. Казалось бы, чего тут важного, все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image123_0000.gif. Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко наломать дров. Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц. Неверно оно и для векторного произведения векторов. Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся в курсе высшей математики, как минимум, лучше вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя.

Пример 3

Найти скалярное произведение векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image129.gif и skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image131.gif, если известно, что skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image133.gif.

Решение: Сначала проясним ситуацию с вектором skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image129_0000.gif. Что это вообще такое? Сумма векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image136.gif и skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image004_0002.gif представляет собой вполне определенный вектор, который и обозначен через skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image139.gif. Геометрическую интерпретацию действий с векторами можно найти в статье Векторы для чайников. Та же петрушка с вектором skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image141.gif – это сумма векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image002_0002.gif и skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image144.gif.

Итак, по условию требуется найти скалярное произведение skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image046_0000.gif. По идее, нужно применить рабочую формулу skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image147.gif, но беда в том, что нам неизвестны длины векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image149.gif и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image151.gif, поэтому мы пойдём другим путём:

skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image153.gif

(1) Подставляем выражения векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image149_0000.gif.

(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов, пошлую скороговорку можно найти в статье Комплексные числа или Интегрирование дробно-рациональной функции. Повторяться уж не буду =)  Кстати, раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения. Имеем право.

(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image155.gif. Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image157.gif.

(4) Приводим подобные слагаемые: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image159.gif.

(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image115_0000.gif, о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image161.gif. Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image023_0000.gif.

(6) Подставляем данные условия skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image164.gif, и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.

Ответ: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image166.gif

Отрицательное значение скалярного произведения констатирует тот факт, что угол между векторами skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image149_0001.gif является тупым.

Задача типовая, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти скалярное произведение векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image168.gif и skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image170.gif, если известно, что skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image172.gif.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image117_0000.gif. Обозначения тут будут немного совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image174.gif

Пример 5

Найти длину вектора skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image176.gif, если skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image178.gif.

Решение будет следующим:
skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image180.gif

(1) Поставляем выражение вектора skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image182.gif.

(2) Используем формулу длины: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image174_0000.gif, при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image185.gif.

(3) Используем школьную формулу квадрата суммы skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image187.gif. Обратите внимание, как она здесь любопытно работает: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image189.gif – фактически это квадрат разности, и, по сути, так оно и есть. Желающие могут переставить векторы местами: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image191.gif – получилось то же самое с точностью до перестановки слагаемых. 

(4) Дальнейшее уже знакомо из двух предыдущих задач.

Ответ: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image193.gif

Коль скоро речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы».

Пример 6

Найти длину вектора skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image195.gif, если skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image197.gif.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Угол между векторами

Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image036_0000.gif.  По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:
skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image200.gif

А части поменяем местами:
Формула косинуса угла между векторами

В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

Скалярное произведение skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image204.gif – это число? Число. Длины векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image029_0000.gif – числа? Числа. Значит, дробь skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image207.gif тоже является некоторым числом skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image209.gif. А если известен косинус угла: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image211.gif, то с помощью обратной функции легко найти и сам угол: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image213.gif.

Пример 7

Найти угол между векторами skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image104_0002.gif и skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image216.gif, если известно, что skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image218.gif.

Решение: Используем формулу:
skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image220.gif
На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image222.gif.

Итак, если skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image224.gif, то:
skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image226.gif

Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице. Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image228.gif, и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим.

Ответ: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image230.gif

Опять, не забываем указывать размерность – радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах).

Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием:

Пример 7*

Даны skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image232.gif – длины векторов skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image104_0003.gif, skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image216_0000.gif и угол между ними skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image236.gif. Найти угол между векторами skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image238.gif, skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image240.gif.

Задание даже не столько сложное, сколько многоходовое.
Разберём алгоритм решения:

1) По условию требуется найти угол между векторами skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image182_0000.gif и skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image243.gif, поэтому нужно использовать формулу skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image245.gif.

2) Находим скалярное произведение skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image247.gif (см. Примеры № 3, 4).

3) Находим длину вектора skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image182_0001.gif и длину вектора skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image243_0000.gif (см. Примеры № 5, 6).

4) Концовка решения совпадает с Примером № 7 – нам известно число skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image249.gif, а значит, легко найти и сам угол: skaljarnoe_proizvedenie_vektorov_clip_image251.gif

Краткое решение и ответ в конце урока.

Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. Координаты. Будет  даже проще, чем в первой части.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов a→ и b→.

При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов a→=(ax,ay), b→=(bx,by) в декартовой системе используют:

a→,b→=ax·bx+ay·by,

для трехмерного пространства применимо выражение:

a→,b→=ax·bx+ay·by+az·bz.

Фактически это является третьим определением скалярного произведения.

Докажем это.

Доказательство 1

Для доказательства используем a→,b→=a→·b→·cosa→,b→^=ax·bx+ay·by для векторов a→=(ax,ay), b→=(bx,by) на декартовой системе.

Следует отложить векторы

OA→=a→=ax,ay и OB→=b→=bx,by.

Тогда длина вектора AB→будет равна AB→=OB→-OA→=b→-a→=(bx-ax,by-ay).

Рассмотрим треугольник OAB.

AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos(∠AOB) верно , исходя из теоремы косинусов.

По условию видно, что OA=a→, OB=b→, AB=b→-a→, ∠AOB=a→,b→^, значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе

b→-a→2=a→2+b→2-2·a→·b→·cos(a→,b→^).

Тогда из первого определения следует, что b→-a→2=a→2+b→2-2·(a→,b→), значит (a→,b→)=12·(a→2+b→2-b→-a→2).

Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
a→,b→=12·((a2x+ay2)2+(b2x+by2)2-((bx-ax)2+(by-ay)2)2)==12·(a2x+a2y+b2x+b2y-(bx-ax)2-(by-ay)2)==ax·bx+ay·by

Докажем равенства:

(a→,b→)=a→·b→·cos(a→,b→^)==ax·bx+ay·by+az·bz

– соответственно для векторов трехмерного пространства.

Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a→=(ax,ay,az), b→=(bx,by,bz) и (a→,a→)=ax2+ay2.

Определение скалярного произведения векторов.

Определение.

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов формула и формула будем обозначать как формула. Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид формула, где формула и формула – длины векторов формула и формула соответственно, а формула – угол между векторами формула и формула.

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то формула.

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению формула.

Определение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Формулу для вычисления скалярного произведения формула можно записать в виде формула, где формула – числовая проекция вектора формула на направление вектора формула, а формула – числовая проекция вектора формула на направление вектора формула.

Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов.

Это определение эквивалентно первому.

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=<∠(→a; →b)=<180° либо 0°=<∠(→a; →b)=<π.

Значок угла ∠ можно опустить и писать просто: (→a;→b).

Пусть даны два вектора →a, →b.

Отложим их от некоторой точки О пространства: →OA = →a; →OB = →b. Тогда угол между векторами — это угол ∠AOB = (→a, →b).

Угол между векторами

Угол между векторами может быть прямым, тупым или острым. Рассмотрим каждый случай:

1. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°.

Если векторы сонаправлены

Так как косинус угла в 0° равен единице, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин. Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу

Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Если векторы направлены в разные стороны

Так как косинус угла в 180° равен -1, то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Также векторы могут образовывать тупой угол

Важно!

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение векторов, которые образуют тупой угол, является тоже отрицательным.

Скалярное произведение и его свойства

Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a→,b→ и c→:

  1. коммутативность (a→,b→)=(b→,a→);
  2. дистрибутивность(a→+b→,c→)=(a→,c→)+(b→,c→), (a→+b→,c→)=(a→,b→)+(a→,c→);
  3. сочетательное свойство (λ·a→,b→)=λ·(a→,b→),(a→,λ·b→)=λ·(a→,b→), λ – любое число;
  4. скалярный квадрат всегда больше нуля (a→,a→)≥0, где (a→,a→)=0 в том случае, когда a→ нулевой.

Пример 1

Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

Доказать свойство коммутативности (a→,b→)=(b→,a→). Из определения имеем, что (a→,b→)=ay·by+ay·by и (b→,a→)=bx·ax+by·ay.

По свойству коммутативности равенства ax·bx=bx·ax и ay·by=by·ay верны, значит ax·bx+ay·by=bx·ax+by·ay.

Отсюда следует, что (a→,b→)=(b→,a→). Что и требовалось доказать.

Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

(a(1)→+a(2)→+…+a(n)→,b→)=(a(1)→,b→)+(a(2)→,b→)+…+(a(n)→,b→)

и (a→,b(1)→+b(2)→+…+b(n)→)=(a→,b(1)→)+(a→,b(2)→)+…+(a→,b→(n)),

отсюда имеем

(a(1)→+a(2)→+…+a(n)→,b(1)→+b(2)→+…+b(m)→)==(a(1)→,b(1)→)+(a(1)→,b(2)→)+…+(a(1)→,b(m)→)++(a(2)→,b(1)→)+(a(2)→,b(2)→)+…+(a(2)→,b(m)→)+…++(a(n)→,b(1)→)+(a(n)→,b(2)→)+…+(a(n)→,b(m)→)

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В плоской задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

Формула скалярного произведения n-мерных векторов

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = {a1; a2; … ; an} и b = {b1; b2; … ; bn} можно найти по формуле:

a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + … + an * bn

Физический смысл скалярного произведения

Механика рассматривает приложение скалярного произведения.

При работе А с постоянной силой F→ перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F→ и MN→ с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:

A=(F→,MN→).

Пример 8

Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A.

Решение

Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F→=5, S→=3, (F→,S→^)=45°, получим A=(F→,S→)=F→·S→·cos(F→,S→^)=5·3·cos(45°)=1522.

Ответ: A=1522.

Пример 9

Материальная точка, перемещаясь из M(2,-1,-3) в N(5,3λ-2,4) под силой F→=(3,1,2), совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.

Решение

При заданных координатах вектора MN→ имеем MN→=(5-2, 3λ-2-(-1), 4-(-3))=(3, 3λ-1,7).

По формуле нахождения работы с векторами F→=(3,1,2) и MN→=(3, 3λ-1,7) получим A=(F⇒, MN→)=3·3+1·(3λ-1)+2·7=22+3λ.

По условию дано, что A=13Дж, значит 22+3λ=13. Отсюда следует λ=-3, значит и MN→=(3,3λ-1,7)=(3,-10,7).

Чтобы найти длину перемещения MN→ , применим формулу и подставим значения:

MN→=32+(-10)2+72=158.

Ответ: 158.

Ирина Мальцевская

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...