Pаспределение Пуассона дискретной случайной величины

Бесплатные примеры решения задач по теории вероятностей на тему: Закон распределения Пуассона для дискретной случайной величины. Подробные объяснения, формулы, комментарии к решенным задачам – учитесь легко

Краткая теория

Рассмотрим некоторый поток событий, в котором события наступают независимо друг от друга и с некоторой фиксированной средней интенсивностью $lambda$ (событий в единицу времени). Тогда случайная величина $X$, равная числу событий $k$, произошедших за фиксированное время, имеет распределение Пуассона. Вероятности вычисляются по следующей формуле:

$$ P(X=k)=frac{lambda^k}{k!}cdot e^{-lambda}, k=0,1,2,… $$

Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:

$$M(X)=lambda, quad D(X)=lambda.$$

Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания. При увеличении $lambda$ данное распределение стремится к нормальному распределению $N(lambda, sqrt{lambda})$. В свою очередь, оно само является “приближенной” моделью биномиального распределения при больших $n$ и крайне малых $p$ (см. теорию про формулу Пуассона).

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Распределение Пуассона: формула вероятности редких событий

Распределение Пуассона – случай биномиального распределения, когда число испытаний n достаточно большое, а вероятность p события A мала ().

Распределение Пуассона называют также распределением редких событий. Например, рождение за год трёх или четырёх близнецов, тот же закон распределения имеет число распавшихся в единицу времени атомов радиоактивного вещества и др.

Вероятность наступления редких событий вычисляется по формуле Пуассона:

,

где m число наступления события A;

– среднее значение распределения Пуассона;

e=2,7183 – основание натурального логарифма.

Закон Пуассона зависит от одного параметра – λ (лямбда), смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случаной величины, распределённой по закону Пуассона.

Применение распределения Пуассона

Примеры, когда Распределение Пуассона является адекватной моделью:

  • число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный период времени;
  • число частиц, подвергнувшихся радиоактивному распаду за определенный период времени;
  • число дефектов в куске ткани фиксированной длины.

Распределение Пуассона является адекватной моделью, если выполняются следующие условия:

  • события происходят независимо друг от друга, т.е. вероятность последующего события не зависит от предыдущего;
  • средняя частота событий постоянна. Как следствие, вероятность события пропорциональна длине интервала наблюдения;
  • два события не могут произойти одновременно;
  • число событий должно принимать значения 0; 1; 2…

Примечание : Хорошей подсказкой, что наблюдаемая случайная величина имеет распределение Пуассона, является тот факт, что среднее значение выборки приблизительно равно дисперсии (см. ниже).

Ниже представлены примеры ситуаций, когда Распределение Пуассона не может быть применено:

  • число студентов, которые выходят из университета в течение часа (т.к. средний поток студентов не постоянен: во время занятий студентов мало, а в перерыве между занятиями число студентов резко возрастает);
  • число землетрясений амплитудой 5 баллов в год в Калифорнии (т.к. одно землетрясение может вызвать повторные толчки сходной амплитуды – события не независимы);
  • число дней, которые пациенты проводят в отделении интенсивной терапии (т.к. число дней, которое пациенты проводят в отделении интенсивной терапии всегда больше 0).

Примечание : Распределение Пуассона является приближением более точных дискретных распределений: Гипергеометрического и Биномиального .

Примечание : О взаимосвязи распределения Пуассона и Биномиального распределения можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL . О взаимосвязи распределения Пуассона и Экспоненциального распределения можно прочитать в статье про Экспоненциальное распределение .

Примеры решения задач

Пример 1

Напредприятии 1000 единиц оборудования определенного вида. Вероятность отказаединицы оборудования в течение часа составляет 0,001. Составить законраспределения числа отказов оборудования в течение часа. Найти числовыехарактеристики.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь – свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Случайнаявеличина 100task.ru – число отказов оборудования, может приниматьзначения 100task.ru

Воспользуемсязаконом Пуассона:

100task.ru

где 100task.ru

Найдемэти вероятности:

100task.ru

100task.ru

100task.ru

100task.ru

100task.ru

100task.ru

Найдемвероятность того, что откажет более 5 единиц оборудования:

100task.ru

Искомыйзакон распределения числа отказов оборудования в течение часа:

Проверка гипотезы о распределении выборки по закону Пуассона.

Математическоеожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассонаравна параметру 100task.ru этого распределения:

100task.ru

Среднееквадратическое отклонение:

100task.ru

Пример 2

Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленнаядеталь окажется бракованной, равна 0,001 Найти вероятность того, что среди 350деталей   окажется ровно 3 бракованных.Определить закон распределения СВ X и её числовые характеристики.

Решение

Вероятностьсобытия, состоящее в том, что деталь окажется бракованной мало, а число 100task.ru велико. Поэтому воспользуемся распределениемПуассона:

100task.ru

100task.ru

Искомаявероятность:

100task.ru

Законраспределения СВ 100task.ru:

100task.ru

Математическоеожидание:

100task.ru

Дисперсия:

100task.ru

Среднееквадратическое отклонение:

100task.ru

Пример 3

Найти среднее число бракованных изделий в партии изделий, есливероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованноеизделие, равна 0,92. Предполагается, что число бракованных изделий врассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь – свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

РаспределениеПуассона:

100task.ru

Среднеечисло бракованных изделий: 100task.ru

Пустьсобытие 100task.ru –в партии содержится хотя бы одно бракованноеизделие

Тогдапротивоположное событие 100task.ru – в партии нет ни одного бракованного изделия

100task.ru

Решаяуравнение, получаем:

100task.ru

Ответ: 100task.ru

Пример 4

Случайная величина ξ распределена по законуПуассона с параметром λ=0,2. Найти:

а) 100task.ru;

б) 100task.ru;

в) 100task.ru

Решение

Закон Пуассона:

100task.ru

Для закона Пуассона математическое ожидание:

100task.ru

Дисперсия:

100task.ru

а)

100task.ru

б)

100task.ru

в)

Ответ: а) 100task.ru;  б) 100task.ru; в) 100task.ru.

Пример 5

Случайные величины 100task.ru распределены по закону Пуассона с одинаковымматематическим ожиданием, равным 6. Найдите математическое ожидание 100task.ru

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь – свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Поскольку случайные величины распределены по закону Пуассона и известныих математические ожидания, соответствующие дисперсии равны:

100task.ru

100task.ru

100task.ru

Искомая величина:

100task.ru

Ответ: 504

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:

математическое ожидание ;

стандартное отклонение ;

дисперсия .

Решебник по терверу

Если решения нужны срочно и почти даром? Ищите в решебнике по теории вероятностей:

Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel

Вероятность распределения Пуассона P(m) и значения интегральной функции F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

окно ms excel для расчёта распределения пуассона

MS Excel требует ввести следующие данные:

  • x – число событий m;
  • среднее;
  • интегральная – логическое значение: 0 – если нужно вычислить вероятность P(m) и 1 – если вероятность F(m).

Генерация случайных чисел и оценка λ

С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, извлеченные из распределения Пуассона .

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с параметром λ=5. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры:

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно оценить параметр λ для каждого массива с помощью функции СРЗНАЧ() , см. файл примера лист Генерация .

Решение примеров с распределением Пуассона

Пример 1. Менеджер телекоммуникационной компании решил рассчитать вероятность того, что в некотором небольшом городе в течении пяти минут поступят 0, 1, 2, … вызовов. Выбраны случайные интервалы в пять минут, подсчитано число вызовов в каждый их интервалов и рассчитано среднее число вызовов: .

Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.

Решение. По формуле Пуассона получаем:

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel ПУАССОН.РАСП (значение интегральной величины – 0):

P(6) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 0) = 0,1398.

Вычислим вероятность того, что в течение пяти минут поступят не более 6 вызовов (значение интегральной величины – 1):

P(≤6) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 1) = 0,7908.

Решить пример самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Производитель отправил в некоторый город 1000 проверенных, то есть исправных телевизоров. Вероятность того, что при транспортировке телевизор выйдет из строя, равна 0,003. То есть в этом случае действует закон распределения Пуассона. Найти вероятность того, что из всех доставленных телевизоров неисправными будут:1) два телевизора;2) менее двух телевизоров.

Правильное решение и ответ.

Продолжаем решать примеры вместе

Пример 3. В центр звонков клиентов поступает поток звонков с интенсивностью 0,8 звонков в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) не придёт ни одного звонка; б) придёт ровно один звонок; в) придёт хотя бы один звонок.

Решение. Случайная величина X – число звонков за 2 минуты с параметром – распределена по закону Пуассона. У нас есть всё, чтобы вычислить требуемые в условии задачи вероятности:

а) (так как 0! = 1).

б) .

в) .

Пример 4. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, имеет интенсивность 4 состава в час. Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трёх составов.

Решение. Случайная величина X – число составов за 0,5 часа с параметром – распределена по закону Пуассона. Вычисляем требуемые в условии задачи вероятности:

а) .

б) .

в) .

200x200_03.png

Начало темы “Теория вероятностей”

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...