Определение ⭐ квадратного уравнения: коэффициенты, корни уравнения, способы решения

3 простых способа определить a,b,c с помощью параболы

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ: наглядно.
  • Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

  1. Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

    – Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

    определяем знак коэффициента a

    – Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

    Определяем значение a

    – Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

    определяем значение a

    – Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

    парабола при a от 0 до 1

    – Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.

    парабола a от -1 до 0

  2. Парабола пересекает ось y в точке (c).

    определяем c по графику

  3. (b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) – абсциссы (икса) вершины параболы:

    (x_в=-frac{b}{2a})
    (b=-x_вcdot 2a)
    находим b с помощью икс вершины

Пример (ЕГЭ):

пример из ЕГЭ

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

пример из ЕГЭ

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

пример из ЕГЭ

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1);    (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

Видеоуроки с параболой.

Графики квадратичной функции и коэффициенты квадратного трёхчлена.

При просмотре видео старайтесь следить одновременно за положением графика и формулой функции в нижней части экрана.

Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения коэффициента а – коэффициента при х2.

Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения коэффициента b – коэффициента при х.

Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения параметра c.

Построение параболы по характерным точкам.

Построение графика квадратичной функции

y = ax2 + bx + c

по характерным точкам. Этот алгоритм позволяет построить параболу с минимальным количеством вычислений и при этом с идеальной точностью для решения экзаменационных задач по математике.

Быстрое построение параболы как графика квадратичной функции.

Другие случаи. Примеры построения.

Задачи на анализ графика квадратичной функции.

Задания вида “Установить соответствие между коэффициентами квадратного трёхчлена и приведенными графиками квадратичной функции” встречаются в ОГЭ по математике в 9-ом классе, а также необходимы сдающим ЕГЭ за 11 класс в качестве промежуточного действия.

goback.gif

   Перейдите  на главную страницу.

Что называют квадратным уравнением

Определение 1Определение 2

Корнем уравнения ax2+bx+c=0 является такое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль, а квадратное уравнение становится верным числовым равенством.

Корень уравнения также называют корнем данного многочлена ax2+bx+c.

Квадратное уравнение состоит из следующих элементов:

  • a — первый (старший) коэффициент;
  • b — второй (средний) коэффициент, либо коэффициент при х;
  • c — свободный член.

Определение 3Пример 1Определение 4

Квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

Пример 2

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

  • a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
  • b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
  • с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x2:

График квадратичной функции

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x2, нужно составить таблицу:

x

−2

−1

1

2

y

4

1

1

4

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x2 выглядит, как перевернутая парабола:

График функции y = –x2

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

−2

−1

1

2

y

−4

−1

−1

−4

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

  • Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
  • Если старший коэффициент меньше нуля a < 0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b2 – 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

  1.  Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:
    график при условии D < 0
  1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:график при условии D = 0
  2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

условие нахождения точек пересечения оси ОХ

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

график при условии a > 0
 

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.график со всеми разобранными условиями

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

формула нахождения координат вершины параболы

график к формуле нахождения координат вершины параболы

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

основные параметры графика квадратичной функции
 

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Связь между корнями и коэффициентами

Согласно общей формуле для определения корней квадратного уравнения, их значения зависят от коэффициентов. Найти корни можно с помощью справедливого равенства:

ax2+bx+c=0

Перед тем, как ознакомиться с алгоритмом решения, важно ввести понятие дискриминант.

Определение 7

Дискриминантом уравнения ax2+bx+c=0 является выражением D=b2-4ac.

blobid1633427983551.png

Источник: ru.wikipedia.org

Формулу для D > 0 получают путем выполнения следующих действий:

ax2+bx+c=0

ax2+bx=-c

После умножения каждой части на 4a следует прибавить b2:

4a2x2+4abx+b2=-4ac+b2

(2ax+b)2=-4ac+b2

2ax+b=±-4ac+b2

2ax=-b±-4ac+b2

x1,2=-b±b2-4ac2a

При D < 0 корней в виде действительных чисел нет. С другой стороны, в данном случае имеется пара комплексных корней, которые определяются аналогичной формулой, используемой при D > 0. Такую формулу допустимо преобразовать путем выражения корня из отрицательного числа, как произведения корня и воображаемой единицы:

x1,2=-b±i|D|2a

В формуле присутствует модуль. Рассмотренный способ решения квадратных уравнений является универсальным вариантом. Существуют другие методы, область применения которых ограничена значением коэффициента.

Если b является четным числом, и k=12b, решить квадратное уравнение можно с помощью упрощенных формул:

blobid1633427969908.png 

Источник: ru.wikipedia.org

В том случае, когда квадратное уравнение неполное, целесообразно использовать следующие формулы для его решения, исходя из значения коэффициентов:

blobid1633427914417.png 

Источник: ru.wikipedia.org

Как решать систему уравнений с квадратами

Существуют системы уравнений, решение которых удобно свести к поиску корней для квадратных уравнений. На примере можно рассмотреть алгоритм действий с системой, состоящей из квадратных уравнений.

Пример 5

В качестве еще одного примера решим систему двух уравнений с двумя неизвестными, где одно уравнение первой степени, а второе — второй степени.

В процессе решения системы из линейного уравнения необходимо выразить какую-то переменную. После подстановки полученного значения в другое уравнение получится квадратное уравнение. Затем действия выполняют по стандартному алгоритму.

Пример 6

Рассмотрим другой вариант системы уравнений, который часто встречается в решении задач по математике в классах средней школы. Система состоит из двух уравнений второй степени. Суть решения в этом случае заключается в приведении его к поиску корней квадратного уравнения.

Пример 7

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...