Онлайн калькулятор комплексных числел

Показательная форма комплексного числа, онлайн калькулятор поможет перевести комплексное число из алгебраической формы в показательную и наоборот.

Действия с комплексными числами

complex2.png
z2=-1-i
Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)
Сложение комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)
Вычитание комплексных чисел
Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел

Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)

Деление комплексных чисел

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)
Тогда
z1 · z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2)+ i sin(φ1 + φ2)]
complex3.png

Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:
complex4.png
Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2-i).

complex5.png

Перевести комплексное число

в показательную форму    в алгебраическую форму

Введите комплексное выражение, которое необходимо вычислить

Выполняет простые операции с комплексными числами.

Также умеет:

  • Выполнять деление с подробным решением
  • Находить разные формы комплексных чисел:
    1. Алгебраическую
    2. Тригонометрическую
    3. Показательную
  • Модуль и аргумент комплексного числа
  • Комплексно-сопряжённое к данному
  • Геометрическую интерпретацию комплексного числа

Правила ввода комплексных выражений с примерами:

Комплексное число записывается в виде a + bj, например 1.5 + 4.7j (j писать слитно) Комплексная единица (Мнимая) – должна записываться в виде 1j (Просто j не будет работать) (3+4j)/(7-5j) – деление (3.6+4j)*(7+5j) – умножение (3+56j)^7 – возведение в степень (5+6j) + 8j – сложение (5+6j) – (7-1j) – вычитание conjugate(1+4j) или conj(1+4j) Сопряженное (комплексно-сопряженное) число для (1 + 4j) re(1+I) Реальная часть комплексного числа 1 + I im(1+I) Мнимая часть 1 + I sign(1+I) Комплексный знак числа 1 + I absolute(1+I) Модуль от 1 + I arg(1+I) Аргумент от 1 + I

Другие примеры:

Квадратный корень из комплексного числа

sqrt(1-24*i)

Кубический корень

cbrt(1-7*i)

Корни четвертой и пятой степени

(1-11*i)^(1/4)(1-11*i)^(1/5)

Комплексные уравнения

z – |z| = 2 + i(i + 5)*z – 2*i + 1 = 0

Возведение в степень

i^15(1 – 2*i)^32

Мнимая и действительная часть

im(re(x) + y)

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция – арккосинус от xarccosh(x) Арккосинус гиперболический от xarcsin(x) Арксинус от xarcsinh(x) Арксинус гиперболический от xarctg(x) Функция – арктангенс от xarctgh(x) Арктангенс гиперболический от xexp(x) Функция – экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция – Синус от xcos(x) Функция – Косинус от xsinh(x) Функция – Синус гиперболический от xcosh(x) Функция – Косинус гиперболический от xsqrt(x) Функция – квадратный корень из xsqr(x) или x^2 Функция – Квадрат xctg(x) Функция – Котангенс от xarcctg(x) Функция – Арккотангенс от xarcctgh(x) Функция – Гиперболический арккотангенс от xtg(x) Функция – Тангенс от xtgh(x) Функция – Тангенс гиперболический от xcbrt(x) Функция – кубический корень из xgamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x
В выражениях можно применять следующие операции:Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,52*x – умножение 3/x – деление x^3 – возведение в степень x + 7 – сложение x – 6 – вычитание 15/7 – дробь

Другие функции:

asec(x) Функция – арксеканс от xacsc(x) Функция – арккосеканс от xsec(x) Функция – секанс от xcsc(x) Функция – косеканс от xfloor(x) Функция – округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция – округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция – Знак xerf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция – гиперболический арксеканс от xcsch(x) Функция – гиперболический косеканс от xsech(x) Функция – гиперболический секанс от xacsch(x) Функция – гиперболический арккосеканс от xПостоянные:pi Число “Пи”, которое примерно равно ~3.14159.. e Число e – основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности – знак для бесконечности

Как пользоваться калькулятором

  1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
  2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем “С решением”
  3. Нажмите на кнопку “Построить”

Введите аргумент и модуль комплексного числа

Аргумент (Φ):    Модуль (r):
  

Калькулятор комплексных чисел

Сложить, вычесть, умножить или разделить два комплексных числа.
Калькулятор комплексных чисел
  

Аргумент комплексного числа, онлайн калькулятор

Найти аргумент комплексного числа.
Аргумент комплексного числа, онлайн калькулятор
  

Формы представления комплексных чисел

Комплексная плоскость

В математическом представлении комплексных чисел используются два оператора для обозначения вещественной и мнимой части: Re(z) и Im(z). Как и вещественные числа, которые представляются в виде точек на числовой оси, комплексное число z, представляемое в виде пары вещественных чисел (Re(z), Im(z)), может быть представлено в виде точки в двумерном пространстве, то есть, на плоскости, которая называется комплексной плоскостью. Горизонтальная ось комплексной плоскости соответствует вещественной части комплексного числа, а вертикальная ось соответствует мнимой части. Видно, что числовая ось с вещественными числами — то же самое, что горизонтальная ось комплексной плоскости, так как мнимая часть вещественных чисел нулевая.

Представление комплексного числа в полярных координатах

Picture

Комплексное число z = x + jy = r ∠φ представляется точкой и вектором на комплексной плоскости

Комплексное число z можно также представить в геометрической форме, которая использует другой тип комплексной плоскости, только не в прямоугольных, а в полярных координатах. В этом представлении используются модуль r радиус-вектора от начала координат до комплексной точки z и угол φ между вектором и горизонтальной осью, измеренный в направлении против часовой стрелки. Этот угол называется аргументом.

Модуль (амплитуда) комплексного числа z = x + iy определяется по формуле:

Formula

Аргумент (фаза) φ определяется с помощью функции арктангенса с двумя аргументами arctan2(y,x):

Formula

Модуль r и аргументφ совместно представляют комплексные числа в тригонометрической форме, так как их сочетание определяет уникальное положение точки, представляющей комплексное число в полярных координатах. Для получения исходных прямоугольных координат пользуются формулой

Formula

Формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и комплексной экспоненциальной функцией для любого вещественного числа φ:

Formula

Формула Эйлера позволяет представить синусоиду в виде комплексной экспоненциальной функции, что удобно использовать во многих областях науки и техники. Геометрическое представление комплексных чисел широко используется в физике, электротехнике и электронике для представления синусоидальных напряжений и токов. В этом представлении вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Комплексные числа, представляющие синусоидальную функцию с амплитудой A, угловой частотой ω и начальной фазой θ, называются фазорами (англ. phasor от phase vector) или комплексными амплитудами. Больше информации о представлении комплексных чисел, фазорах и преобразовании из алгебраической формы в тригонометрическую и обратно вы найдете в нашем Калькуляторе преобразования алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую.

Отношения и операции с комплексными числами

Комплексные числа подчиняются тем же правилам алгебры, что и обычные числа. Мнимая единица i считается константой и если встречается величина i², она заменяется на –1.

Равенство комплексных чисел

Два комплексных числа x + yi и n + mi равны тогда и только тогда, когда x = n и y = m.

Сопряженное комплексное число

Сопряженное комплексное число находят путем изменения знака его мнимой части. Например, такие два числа являются комплексно-сопряженными:

Formula

В физике, электротехнике и электронике сопряженные комплексные числа часто обозначаются звездочкой (z*). Пример сопряженных комплексных чисел (щелкните, чтобы посмотреть его в калькуляторе):

Formula

Сложение и вычитание

Сумма и разность двух комплексных чисел m + ni и p + qi определяется как

Formula

и

Formula

То есть, для сложения и вычитания комплексных чисел, нужно отдельно сложить или вычесть их действительные и мнимые части. Примеры (щелкните, чтобы посмотреть в калькуляторе):

Formula

Formula

Умножение

Два комплексных числа в алгебраической форме умножают путем умножения каждой части одного числа на обе части другого числа с последующим комбинированием результатов в вещественную и мнимую части. При умножении используется определение i² = –1. Например:

Formula

В тригонометрической форме умножение двух комплексных чисел выполнять проще, так как оно сводится к умножению модулей и сложению аргументов, например:

Formula

Получение обратного числа и деление

Обратное число к данному ненулевому комплексному числу z = a + bi в алгебраической форме выполняется путем умножения числителя (в данном случае 1) и знаменателя на число, сопряженное числу в знаменателе (в нашем случае — данному комплексному числу) с последующим преобразованием и упрощением:

Formula

Деление двух комплексных чисел a + bi и c + di в алгебраической форме выполняется аналогично, с использованием сопряженного комплексного числа в знаменателе:

Formula

Как и умножение, деление двух комплексных числе в тригонометрической форме выполнять удобнее, чем в алгебраической. Модуль частного от деления двух чисел определяется путем деления модуля делимого на модуль делителя. Аргумент (угол) частного определяется путем вычитания аргумента делителя из аргумента делимого. Например:

Formula

Квадратный корень

Если мнимая часть комплексного числа отлична от нуля, то квадратные корни этого числа представляют собой пару комплексных чисел с положительным и отрицательным знаками. Положительное число считается главным значением квадратного корня. Этот калькулятор определяет только главное (положительное) значение квадратного корня комплексного числа. Если комплексное число представлено в алгебраической форме, то для вычисления квадратного корня используется следующая формула:

Formula

где sgn(y) — функция знака y, определенная следующим образом:

Formula

Применение комплексных чисел

Комплексные числа широко используются в науке и технике — в геометрии, теории устойчивости (критерий устойчивости Найквиста — Михайлова, в котором используется построение на комплексной плоскости), в электротехнике и анализе сигналов (периодические сигналы удобно описываются комплексными числами), в квантовой механике, теории относительности и во многих других областях. Изобретенные почти 200 лет назад кватернионы, представляющие собой расширение комплексных чисел, используются в компьютерной графике, инерциальной навигации и теории управления.

Автор статьи: Анатолий Золотков

Извлечение корня из комплексного числа онлайн

Извлечь корень n степени из комплексного числа.
Извлечение корня из комплексного числа онлайн
  

Числа. Комплексные (мнимые) числа.

Комплексные числа (мнимые числа) — числа, которые имеют вид: x + iy , где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: i 2 = -1 ).
Числа. Комплексные (мнимые) числа.
Мы в соцсетях Присоединяйтесь!
Нашли ошибку? Есть предложения? Сообщите нам
Этот калькулятор можно вставить на сайт, в блог
Создадим калькулятор для вас

Код для вставки без рекламы с прямой ссылкой на сайт

Код для вставки с рекламой без прямой ссылки на сайт

Код для вставки:

Скопируйте и вставьте этот код на свою страничку в то место, где хотите, чтобы отобразился калькулятор.

Cообщение:

Что-то не нашли? Ошибка? Предложения? Сообщите нам

Ваш e-mail:

Если нужен ответ

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...