Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Мощность множества

найти декартово произведение множеств  А = {а; b; с;, d},  В = {b; n;, r};

Eleonora Gabrielyan

Eleonora Gabrielyan
Рейтинг: 244 115
d9beb3c9452697ff619915dfc0f9441f.JPG

Добрый день. Меня заинтересовал ваш ответ “” на вопрос http://www.liveexpert.ru/topic/view/2504171-najti-dekartovo-proizvedenie-mnozhestv-a-a-b-s-d-v-b-n-r. Можно с вами обсудить этот ответ?

25.06.17

Теория множеств

Теорию множеств разработал немецкий математик Георг Кантор. Перевод математического аппарата на теоретико-множественный язык произвел переворот в современной науке. Ключевая мысль, на которой базируется канторовская теория, состоит в элементарном понятии пересчета предметов при помощи взаимно-однозначного соответствия.

Представьте себе античного пастуха, который не имеет представления о числах и счете. Как он может узнать, сколько у него овец и все ли они вернулись с выгула? Ответ элементарный и в тоже время исключительно математический. Выпуская стадо из загона, пастух постепенно откладывает столько камней, сколько овец вышло пастись. Вечером он загоняет стадо и возвращает камни на место. Если несколько животных потерялось, то он сразу это увидит по тому, сколько камней осталось не переложенными. Этот примитивный прием счета предметов лег в основу канторовской теории: взаимно-однозначное соответствие элементов множества камней и множества овец.

Множество. Примеры множеств

Множество – это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира. Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента.

В широком смысле, множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т.д.

Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами mnozhestva_clip_image004.gif (как вариант, с подстрочными индексами: mnozhestva_clip_image006.gif и т.п.), а его элементы записываются в фигурных скобках, например:

mnozhestva_clip_image008.gif – множество букв русского алфавита;
mnozhestva_clip_image010.gif – множество натуральных чисел;

ну что же, пришла пора немного познакомиться:
mnozhestva_clip_image012.gif – множество студентов в 1-м ряду

… я рад видеть ваши серьёзные и сосредоточенные лица =)

Множества mnozhestva_clip_image014.gif и mnozhestva_clip_image016.gif являются конечными (состоящими из конечного числа элементов), а множество mnozhestva_clip_image018.gif – это пример бесконечного множества. Кроме того, в теории и на практике рассматривается так называемое пустое множество:

mnozhestva_clip_image020.gif – множество, в котором нет ни одного элемента.

Пример вам хорошо известен – множество mnozhestva_clip_image016_0000.gif на экзамене частенько бывает пусто =)

Принадлежность элемента множеству записывается значком mnozhestva_clip_image023.gif, например:

mnozhestva_clip_image025.gif – буква «бэ» принадлежит множеству букв русского алфавита;
mnozhestva_clip_image027.gif – буква «бета» не принадлежит множеству букв русского алфавита;
mnozhestva_clip_image029.gif – число 5 принадлежит множеству натуральных чисел;
mnozhestva_clip_image031.gif – а вот число 5,5 – уже нет;
mnozhestva_clip_image033.gif – Вольдемар не сидит в первом ряду (и тем более, не принадлежит множеству mnozhestva_clip_image014_0000.gif или mnozhestva_clip_image018_0000.gif =)).

В абстрактной и не очень алгебре элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами mnozhestva_clip_image037.gif и, соответственно, факт принадлежности оформляется в следующем стиле:

mnozhestva_clip_image039.gif – элемент mnozhestva_clip_image041.gif принадлежит множеству mnozhestva_clip_image043.gif.

Вышеприведённые множества записаны прямым перечислением элементов, но это не единственный способ. Многие множества удобно определять с помощью некоторого признака (ов), который присущ всем его элементам. Например:

mnozhestva_clip_image045.gif – множество всех натуральных чисел, меньших ста.

Запомните: длинная вертикальная палка mnozhestva_clip_image047.gif выражает словесный оборот «которые», «таких, что». Довольно часто вместо неё используется двоеточие: mnozhestva_clip_image049.gif – давайте прочитаем запись более формально: «множество элементов mnozhestva_clip_image051.gif, принадлежащих множеству mnozhestva_clip_image018_0001.gif натуральных чисел, таких, что mnozhestva_clip_image054.gif». Молодцы!

Данное множество можно записать и прямым перечислением:
mnozhestva_clip_image056.gif

Ещё примеры:
mnozhestva_clip_image058.gif – и если и студентов в 1-м ряду достаточно много, то такая запись намного удобнее, нежели их прямое перечисление.

mnozhestva_clip_image060.gif – множество чисел, принадлежащих отрезку mnozhestva_clip_image062.gif. Обратите внимание, что здесь подразумевается множество действительных чисел (о них позже), которые перечислить через запятую уже невозможно.

Следует отметить, что элементы множества не обязаны быть «однородными» или логически взаимосвязанными. Возьмите большой пакет и начните наобум складывать в него различные предметы. В этом нет никакой закономерности, но, тем не менее, речь идёт о множестве предметов. Образно говоря, множество – это и есть обособленный «пакет», в котором «волею судьбы» оказалась некоторая совокупность объектов.  

Подмножества

Практически всё понятно из самого названия: множество mnozhestva_clip_image064.gif является подмножеством множества mnozhestva_clip_image014_0001.gif, если каждый элемент множества mnozhestva_clip_image064_0000.gif принадлежит множеству mnozhestva_clip_image014_0002.gif. Иными словами, множество mnozhestva_clip_image064_0001.gif содержится во множестве mnozhestva_clip_image014_0003.gif:
mnozhestva_clip_image068.gif

Значок mnozhestva_clip_image070.gif называют значком включения.

Вернёмся к примеру, в котором mnozhestva_clip_image014_0004.gif – это множество букв русского алфавита. Обозначим через mnozhestva_clip_image064_0002.gif – множество его гласных букв. Тогда:
mnozhestva_clip_image068_0000.gif

Также можно выделить подмножество согласных букв и вообще – произвольное подмножество, состоящее из любого количества случайно (или неслучайно) взятых кириллических букв. В частности, любая буква кириллицы является подмножеством множества mnozhestva_clip_image014_0005.gif.

Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера.

Пусть mnozhestva_clip_image016_0001.gif – множество студентов в 1-м ряду, mnozhestva_clip_image074.gif – множество студентов группы, mnozhestva_clip_image076.gif – множество студентов университета. Тогда отношение включений mnozhestva_clip_image078.gif можно изобразить следующим образом:
Круги Эйлера служат для схематического изображения вложенности множеств
Множество студентов другого ВУЗа следует изобразить кругом, который не пересекает внешний круг; множество студентов страны – кругом, который содержит в себе оба этих круга, и т.д.

Типичный пример включений мы наблюдаем при рассмотрении числовых множеств. Повторим школьный материал, который важно держать на заметке и при изучении высшей математики:

Числовые множества

Как известно, исторически первыми появились натуральные числа, предназначенные для подсчёта материальных объектов (людей, кур, овец, монет и т.д.). Это множество уже встретилось в статье, единственное, мы сейчас чуть-чуть модифицируем его обозначение. Дело в том, что числовые множества принято обозначать жирными, стилизованными или утолщёнными буквами. Мне удобнее использовать жирный шрифт:
mnozhestva_clip_image082.gif

Иногда к множеству натуральных чисел относят ноль.

Если к множеству mnozhestva_clip_image084.gif присоединить те же числа с противоположным знаком и ноль, то получится множество целых чисел:

mnozhestva_clip_image086.gif, рационализаторы и лентяи записывают его элементы со значками «плюс минус»:))

mnozhestva_clip_image088.gif

Совершенно понятно, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел:
mnozhestva_clip_image090.gif – поскольку каждый элемент множества mnozhestva_clip_image084_0000.gif принадлежит множеству mnozhestva_clip_image093.gif. Таким образом, любое натуральное число можно смело назвать и целым числом.

Название множества тоже «говорящее»: целые числа – это значит, никаких дробей.

И, коль скоро, целые, то сразу же вспомним важные признаки их делимости на 2, 3, 4, 5 и 10, которые будут требоваться в практических вычислениях чуть ли не каждый день:

Целое число делится на 2 без остатка, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. любой чётной цифрой). Например, числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 – делятся на 2 без остатка.

И давайте тут же разберём «родственный» признак: целое число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр (в порядке их следования) делится на 4.

400 – делится на 4 (т.к. 00 (ноль) делится на 4);
-1502 – не делится на 4 (т.к. 02 (двойка) не делится на 4);
-24, понятно, делится на 4;
66996 – делится на 4 (т.к. 96 делится на 4);
818 – не делится на 4 (т.к. 18  не делится на 4).

Самостоятельно проведите несложное обоснование данного факта.

С делимость на 3 чуть сложнее: целое число делится на 3 без остатка, если сумма входящих в него цифр делится на 3.

Проверим, делится ли на 3 число 27901. Для этого просуммируем его цифры:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – не делится на 3
Вывод: 27901 не делится на 3.

Просуммируем цифры числа -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – делится на 3
Вывод: число -825432 делится на 3

Целое число делится на 5, если оно заканчивается пятёркой либо нулём:
775, -2390 – делятся на 5

Целое число делится на 10, если оно заканчивается на ноль:
798400 – делится на 10 (и, очевидно, на 100). Ну и, наверное, все помнят – для того, чтобы разделить на 10, нужно просто убрать один ноль: 79840

Также существуют признаки делимости на 6, 8, 9, 11 и т.д., но практического толку от них практически никакого =)

Следует отметить, что перечисленные признаки (казалось бы, такие простые) строго доказываются в теории чисел. Этот раздел алгебры вообще достаточно интересен, однако его теоремы… прямо современная китайская казнь =) А Вольдемару за последней партой и того хватило…, но ничего страшного, скоро мы займёмся живительными физическими упражнениями =)

Следующим числовым множеством идёт множество рациональных чисел:
mnozhestva_clip_image095.gif – то есть, любое рациональное число представимо в виде дроби mnozhestva_clip_image097.gif с целым числителем и натуральным знаменателем.

Очевидно, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел:
mnozhestva_clip_image099.gif

И в самом деле – ведь любое целое число можно представить в виде рациональной дроби mnozhestva_clip_image101.gif, например: mnozhestva_clip_image103.gif и т.д. Таким образом, целое число можно совершенно законно назвать и рациональным числом.

Характерным «опознавательным» признаком рационального числа является то обстоятельство, что при делении числителя на знаменатель получается либо
mnozhestva_clip_image105.gif – целое число,

либо
mnozhestva_clip_image107.gif – конечная десятичная дробь,

либо
mnozhestva_clip_image109.jpg– бесконечная периодическая десятичная дробь (повтор может начаться не сразу).

Полюбуйтесь делением и постарайтесь выполнять это действие как можно реже! В организационной статье Высшая математика для чайников и на других уроках я неоднократно повторял, повторяю, и буду повторять эту мантру:

В высшей математике все действия стремимся выполнять в обыкновенных (правильных и неправильных) дробях

Согласитесь, что иметь дело с дробью mnozhestva_clip_image111.gif значительно удобнее, чем с десятичным числом 0,375 (не говоря уже о бесконечных дробях).

Едем дальше. Помимо рациональных существует множество mnozhestva_clip_image113.gif иррациональных чисел, каждое из которых представимо в виде бесконечной НЕпериодической десятичной дроби. Иными словами, в «бесконечных хвостах» иррациональных чисел нет никакой закономерности:
mnozhestva_clip_image115.gif («год рождения Льва Толстого» дважды)
и т.д.

О знаменитых константах «пи» и «е» информации предостаточно, поэтому на них я не останавливаюсь.

Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел:
mnozhestva_clip_image117.gif

mnozhestva_clip_image119.gif – значок объединения множеств.

Геометрическая интерпретация множества mnozhestva_clip_image121.gif вам хорошо знакома – это числовая прямая:
Числовая прямая – это геометрическая интерпретация множества действительных чисел
Каждому действительному числу соответствует определённая точка числовой прямой, и наоборот – каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число. По существу, сейчас я сформулировал свойство непрерывности действительных чисел, которое хоть и кажется очевидным, но строго доказывается в курсе математического анализа.

Числовую прямую также обозначают бесконечным интервалом mnozhestva_clip_image125.gif, а запись mnozhestva_clip_image127.gif или эквивалентная ей запись mnozhestva_clip_image129.gif символизирует тот факт, что mnozhestva_clip_image041_0000.gif принадлежит множеству действительных чисел (или попросту  «икс» – действительное число).

С вложениями всё прозрачно: множество рациональных чисел – это подмножество множества действительных чисел:
mnozhestva_clip_image132.gif, таким образом, любое рациональное число можно смело назвать и действительным числом.

Множество иррациональных чисел – это тоже подмножество действительных чисел:
mnozhestva_clip_image134.gif

При этом подмножества mnozhestva_clip_image136.gif и mnozhestva_clip_image113_0000.gif не пересекаются – то есть ни одно иррациональное число невозможно представить в виде mnozhestva_clip_image097_0000.gif рациональной дроби.

Существуют ли какие-нибудь другие числовые системы? Существуют! Это, например, комплексные числа, с которыми я рекомендую ознакомиться буквально в ближайшие дни или даже часы.

Ну а пока мы переходим к изучению операций над множествами, дух которых уже материализовался в конце этого параграфа:

вторник, 11 декабря 2012 г.

[Билет 4] Упорядоченные пары. Декартово произведение двух и более множеств, его свойства.

Упорядоченной парой называется объект вида (a, b), который состоит из 2 не обязательно разных элементов и в котором определено какой из этих элементов первый, а какой второй. z011242.JPGz021242.JPGz031242.JPGz041242.JPG.

Декартово произведение двух и более множеств, его свойства.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А x В. Таким образом А x В = <(x;y) | x принадлеж A, y принадлеж B>.

Определение 1.3. Множество всех кортежей длины на множествах называют декартовым (прямым) произведением множеств и обозначают .

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Рассмотрим следующий пример. Известно, что А x В=<(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)>. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А=<2, 3>, B=<3, 5, 6>.

Перечислим элементы, принадлежащие множеству АxВ, если
А=, B=A. Декартово произведение АxВ= <(a, a), (a, b), (a, c),
(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)>.

✔Олеся / Математика

Сейчас на сайте
✔Олеся / Математика
Рейтинг: 40 357
12-й в Учебе и науке
Читать ответы

Понятие множества

Множество — элементарный математический объект, не сводимый к определению через другие термины. В классическом определении под множеством определяют совокупность неупорядоченных элементов, мыслимых как одно целое. Примерами реальных множеств выступают множества людей на планете, набор домов на улице или совокупность звезд на небе.

Каждое множество имеет подмножество, то есть набор элементов с общей характеристикой, которые принадлежат конкретной совокупности. В примере выше подмножествами множества людей будет совокупность жителей Европы, подмножеством для набора домов станут только кирпичные дома, а подмножеством всех существующих звезд выступят звезды галактики Млечный путь.

Георг Кантор пришел к выводу, что любой математический объект можно представить в виде определенного множества. Например, число 13 — это одноэлементное множество A = {13}, которое принадлежит надмножеству натуральных чисел. Как и с числами, с множествами легко выполнять алгебраические операции, то есть складывать и вычитать. Согласно аксиомам теории множеств, результат операции над совокупностями элементов должен также приводить к множеству. Пустое множество — нуль алгебры множеств, представляющий собой пустой набор элементов. Если из A вычесть A, то мы получим пустое множество.

Мощность множества

Мощность множества — это количество объектов, которое оно в себя включает. Число 13 как одноэлементное множество характеризуется мощностью, равной единице, а мощность пустого множества равна нулю. Множества можно сравнивать по мощности. Равномощными называются объекты, между элементами которых можно установить взаимно-однозначное отношение. Как и говорилось выше, множество камней и множество овец — это два равномощных математических объекта и именно с ними легко оперировать в прикладных задачах. Примером равномощных объектов в реальности можно привести базы данных. К примеру, множество студентов и множества их оценок по разным предметам в базе данных университета.

Отображение множеств

Отображение множества mnozhestva_clip_image002_0000.gif во множество mnozhestva_clip_image004_0000.gif– это правило, по которому каждому элементу множества mnozhestva_clip_image002_0001.gif ставится в соответствие элемент (или элементы) множества mnozhestva_clip_image004_0001.gif. В том случае если в соответствие ставится единственный элемент, то данное правило называется однозначно определённой функцией или просто функцией.

Функцию, как многие знают, чаще всего обозначают буквой mnozhestva_clip_image007.gif – она ставит в соответствие каждому элементу mnozhestva_clip_image009.gif единственное значение mnozhestva_clip_image011.gif, принадлежащее множеству mnozhestva_clip_image004_0002.gif.

Ну а сейчас я снова побеспокою множество mnozhestva_clip_image014_0023.gif студентов 1-го ряда и предложу им 6 тем для рефератов (множество mnozhestva_clip_image016_0002.gif):

mnozhestva_clip_image018_0002.gif Векторы
mnozhestva_clip_image020_0000.gif Матрицы
mnozhestva_clip_image022.gif Определители
mnozhestva_clip_image024.gif Комплексные числа (о, да!)
mnozhestva_clip_image026.gif Теория пределов
mnozhestva_clip_image028.gif Что такое производная?

Установленное (добровольно или принудительно =)) правило mnozhestva_clip_image030.gif ставит в соответствие каждому студенту mnozhestva_clip_image032.gif множества mnozhestva_clip_image034.gif единственную тему реферата mnozhestva_clip_image036.gif множества mnozhestva_clip_image016_0003.gif.

…а вы, наверное, и представить себе не могли, что сыграете роль аргумента функции =) =)

Элементы множества mnozhestva_clip_image034_0000.gif образуют область определения функции (обозначается через mnozhestva_clip_image039_0000.gif), а элементы множества mnozhestva_clip_image016_0004.gif – область значений функции (обозначается через mnozhestva_clip_image041_0001.gif).

Построенное отображение множеств имеет очень важную характеристику: оно является взаимно-однозначным или биективным (биекцией). В данном примере это означает, что каждому студенту поставлена в соответствие одна уникальная тема реферата, и обратно – за каждой темой реферата закреплён один и только один студент.

Однако не следует думать, что всякое отображение биективно. Если на 1-й ряд (к множеству mnozhestva_clip_image034_0001.gif) добавить 7-го студента, то взаимно-однозначное соответствие пропадёт – либо один из студентов останется без темы (отображения не будет вообще), либо какая-то тема достанется сразу двум студентам. Обратная ситуация: если к множеству mnozhestva_clip_image016_0005.gif добавить седьмую тему, то взаимнооднозначность отображения тоже будет утрачена –  одна из тем останется невостребованной.

Уважаемые студенты на 1-м ряду, не расстраивайтесь – остальные 20 человек после пар пойдут прибирать территорию университета от осенней листвы. Завхоз выдаст двадцать голиков, после чего будет установлено взаимно-однозначное соответствие между основной частью группы и мётлами…, а Вольдемар ещё и в магазин сбегать успеет =)

Теперь разберёмся со «школьной» функцией одной переменной. Пожалуйста, загляните на страницу Функции и графики (отроется на соседней вкладке), и в Примере 1 найдите график линейной функции mnozhestva_clip_image043_0000.gif.

Задумаемся, что это такое? Это правило mnozhestva_clip_image030_0000.gif, которое каждому элементу mnozhestva_clip_image046.gif области определения (в данном случае это все значения «икс») ставит в соответствие единственное значение mnozhestva_clip_image048.gif. С теоретико-множественной точки зрения, здесь происходит отображение множества действительных чисел во множество действительных чисел:
mnozhestva_clip_image050.gif

Первое множество мы по-обывательски называем «иксами» (независимая переменная или аргумент), а второе – «игреками» (зависимая переменная или функцияmnozhestva_clip_image052.gif).

Далее взглянем на старую знакомую параболу mnozhestva_clip_image054_0000.gif . Здесь правило mnozhestva_clip_image056_0000.gif каждому значению «икс» ставит в соответствие его квадрат, и имеет место отображение:
mnozhestva_clip_image059.gif

Итак, что же такое функция одной переменной? Функция одной переменной  – это правило mnozhestva_clip_image030_0001.gif, которое каждому значению независимой переменной mnozhestva_clip_image046_0001.gif из области определения ставит в соответствие одно и только одно значение mnozhestva_clip_image052_0000.gif.

Как уже отмечалось в примере со студентами, не всякая функция является взаимно-однозначной. Так, например, у функции mnozhestva_clip_image064_0003.gif каждому «иксу» области определения  соответствует свой уникальный «игрек», и наоборот – по любому значению «игрек» мы сможем однозначно восстановить «икс». Таким образом, это биективная функция.

! На всякий случай ликвидирую возможное недопонимание: моя постоянная оговорка об области определения не случайна! Функция может быть определена далеко не при всех «икс», и, кроме того, может быть взаимно-однозначной и в этом случае. Типичный пример: mnozhestva_clip_image066.gif 

А вот у квадратичной функции не наблюдается ничего подобного, во-первых:
mnozhestva_clip_image068_0001.gif – то есть, различные значения «икс» отобразились в одно и то же значение «игрек»; и во-вторых: если кто-то вычислил значение функции и сообщил нам, что mnozhestva_clip_image070_0000.gif, то не понятно – этот «игрек» получен при mnozhestva_clip_image072.gif или при mnozhestva_clip_image074_0000.gif? Что и говорить, взаимной однозначностью здесь даже не пахнет.

Задание 2: просмотреть графики основных элементарных функций и выписать на листок биективные функции. Список для сверки в конце этого урока.

Разность множеств

Разность двух множеств A и B — это третьей множество C, каждый элемент которого принадлежит множеству A и не принадлежит множеству B. Математическим языком разность двух совокупностей записывается как A/B, а читается как «A без B». Такое прочтение позволяет интуитивно понять результат операции вычитания множеств.

Наша программа позволяет определить разность двух множеств разной мощности. Калькулятор работает с неупорядоченными объектами, поэтому порядковый номер элементов для него не важен. Для решения задач на разность множеств вам потребуется ввести в ячейку калькулятора совокупность чисел через запятую. Вы можете оперировать как целыми числами, так и десятичные дробями. Так как числа перечисляются через запятую, отделять целую часть от дробной требуется точкой. Например, множество рациональных чисел запишем как Q = {0,25; 0,75; 1,75}.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...