Калькулятор онлайн – Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов: определение, формулы, свойства и примеры решение задач. Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное скалярному произведению вектора a и b на вектор c

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Определение 1

Смешанным произведением a→, b→ и d→ является та величина, которая равняется скалярному произведению a→×b→ и d→ , где a→×b→ – умножение a→ и b→ . Операцию умножения a→, b→ и d→ зачастую обозначают a→·b→·d→ . Можно преобразовать формулу так:a→·b→·d→=(a→×b→,d→) .

Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов vec{a},vec{b},vec{c} равен объему V_{*vec{a},vec{b},vec{c}} параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение (vec{a},vec{b},vec{c}) положительно, если тройка векторов vec{a},vec{b},vec{c} — правая, и отрицательно, если тройка vec{a},vec{b},vec{c} — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение (vec{a},vec{b},vec{c}) равно нулю тогда и только тогда, когда векторы vec{a},vec{b},vec{c} компланарны:

(vec{a},vec{b},vec{c})=0~Leftrightarrow

векторы

vec{a},vec{b},vec{c}

компланарны.

Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: (vec{a},vec{b},vec{c})=|vec{a}|cdotbigl|[vec{b},vec{c}]bigl|cospsi, где psi — угол между векторами vec{a} и [vec{b},vec{c}]. Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади S_{*vec{b}vec{c}} параллелограмма, построенного на векторах vec{b} и vec{c}: bigl|[vec{b},vec{c}]bigl|,=|vec{b}|cdot|vec{c}|cdotsinvarphi=S_{*vec{b}vec{c}}. Поэтому (vec{a},vec{b},vec{c})=S_{*vec{b}vec{c}}|vec{a}|cospsi. Алгебраическое значение |vec{a}|cospsi длины проекции вектора vec{a} на ось, задаваемую вектором [vec{b},vec{c}], равно по модулю высоте h=|vec{a}|cdot|cospsi| параллелепипеда, построенного на векторах vec{a},vec{b},vec{c} (рис. 1.47). Поэтому модуль смешанного произведения равен объему V_{*vec{a}vec{b}vec{c}} этого параллелепипеда:

Параллелепипед, построенный на векторах

bigl|vec{a},vec{b},vec{c}bigl|,=S_{*vec{b}vec{c}}cdot|vec{a}|cdot|cospsi|=S_{*vec{b}vec{c}}cdot h=V_{*vec{a}vec{b}vec{c}}.

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла psi. Если тройка vec{a},vec{b},vec{c} правая, то psi<frac{pi}{2} и смешанное произведение (vec{a},vec{b},vec{c}) положительно. Если же тройка vec{a},vec{b},vec{c} левая, то psi>frac{pi}{2} и смешанное произведение (vec{a},vec{b},vec{c}) отрицательно.

Докажем второе свойство. Равенство (vec{a},vec{b},vec{c})=|vec{a}|cdotbigl|[vec{b},vec{c}]bigl|cospsi=0 возможно в трех случаях: vec{a}=vec{o} или [vec{b},vec{c}]=vec{o} (т.е. vec{b}parallelvec{c}),или cospsi=0 (т.е. вектор vec{a} принадлежит плоскости векторов vec{b} и vec{c}). В каждом случае векторы vec{a},vec{b},vec{c} компланарны (см. разд. 1.1).

Формулы вычисления смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение векторов a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и c = {cx; cy; cz} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [b × c] =  ax   ay   az 
 bx   by   bz 
 cx   cy   cz 

Определение смешанного произведения.

Смешанное произведение определяется для трех векторов, заданных в трехмерном пространстве.

Из определения понятно, почему смешанное произведение часто называют векторно-скалярным произведением.

Смешанное произведение векторов формула и формула обычно обозначают формула. В таких обозначениях по определению смешанного произведения формула.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c, то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab] скалярно умножается на вектор c.

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2′ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab],c) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab],c) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Для доказательства следствия заметим, что из переместительного свойства скалярного произведения имеем:

Следовательно нам достаточно доказать, что

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc, не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы Смешанное произведение векторовСмешанное произведение векторов Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

Смешанное произведение векторов

Полученную формулу можно записать короче:

Смешанное произведение векторов

так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки. Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...