Как решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы – формула, расчет, вычисление, решение

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Подробное решение. Онлайн калькулятор.

Решить систему линейных уравнений матричным методом

Количество неизвестных величин в системе:

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений матричным методом

  • В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
  • Для изменения в уравнении знаков с “+” на “-” вводите отрицательные числа.
  • Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
  • Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x1 – 7x2 – x4 = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

 x1 +  x2 +  x3 +  x4 = 

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений матричным методом

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево”, “вправо”, “вверх” и “вниз” на клавиатуре.
  • Вместо x1, x2, … вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:

где

Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т.е. определитель матрицы A не равен нулю.

Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A−1. Тогда

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A−1A=E, где E– единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

или, учитывая, что Ex=x:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.

Алгоритм решения

  1. Вычисляется определитель матрицы A. Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.
  2. При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A-1.
  3. Вектор решения X={x1, x2, …, xn} получается умножением обратной матрицы на вектор результата B.

Пример №1. Найти решение системы матричным методом. Запишем матрицу в виде:

Вектор B:
BT = (3,-2,-1)
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆ = 2•(1•(-2)-2•0)-(-2•(3•(-2)-2•1))+1•(3•0-1•1) = -21
Итак, определитель -21 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Транспонированная матрица
Алгебраические дополнения.

A1,1 = (-1)1+1 ∆1,1 = (1•(-2)-0•2) = -2

A1,2 = (-1)1+2 ∆1,2 = -(3•(-2)-1•2) = 8

A1,3 = (-1)1+3 ∆1,3 = (3•0-1•1) = -1

A2,1 = (-1)2+1 ∆2,1 = -(-2•(-2)-0•1) = -4

A2,2 = (-1)2+2 ∆2,2 = (2•(-2)-1•1) = -5

A2,3 = (-1)2+3 ∆2,3 = -(2•0-1•(-2)) = -2

A3,1 = (-1)3+1 ∆3,1 = (-2•2-1•1) = -5

A3,2 = (-1)3+2 ∆3,2 = -(2•2-3•1) = -1

A3,3 = (-1)3+3 ∆3,3 = (2•1-3•(-2)) = 8

Обратная матрица:

Вектор результатов X = A-1 • B
XT = (1,0,1)
x1 = -21 / -21 = 1
x2 = 0 / -21 = 0
x3 = -21 / -21 = 1
Проверка:
2•1+3•0+1•1 = 3
-2•1+1•0+0•1 = -2
1•1+2•0+-2•1 = -1

Пример №2. Решить СЛАУ методом обратной матрицы.
2 x 1 + 3×2 + 3×3+ x4= 1
3 x 1 + 5×2 + 3×3+ 2×4= 2
5 x 1 + 7×2 + 6×3+ 2×4= 3
4 x 1 + 4×2 + 3×3+ x4= 4

Запишем матрицу в виде:
math.semestr.ru
Вектор B:
BT = (1,2,3,4)
Главный определитель
Минор для (1,1):
math.semestr.ru
 = 5•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•2)+4•(3•2-6•2) = -3
Минор для (2,1):
math.semestr.ru
 = 3•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•1)+4•(3•2-6•1) = 0
Минор для (3,1):
math.semestr.ru
 = 3•(3•1-3•2)-5•(3•1-3•1)+4•(3•2-3•1) = 3
Минор для (4,1):
math.semestr.ru
 = 3•(3•2-6•2)-5•(3•2-6•1)+7•(3•2-3•1) = 3
Определитель минора
∆ = 2•(-3)-3•0+5•3-4•3 = -3

Транспонированная матрица
math.semestr.ru
Алгебраические дополнения
math.semestr.ru
∆1,1 = 5•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+2•(7•3-6•4) = -3
math.semestr.ru
∆1,2 = -3•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+1•(7•3-6•4) = 0
math.semestr.ru
∆1,3 = 3•(3•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-3•4) = 3
math.semestr.ru
∆1,4 = -3•(3•2-2•6)-3•(5•2-2•7)+1•(5•6-3•7) = -3
math.semestr.ru
∆2,1 = -3•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+2•(5•3-6•4) = 9
math.semestr.ru
∆2,2 = 2•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-6•4) = 0
math.semestr.ru
∆2,3 = -2•(3•1-2•3)-3•(3•1-2•4)+1•(3•3-3•4) = -6
math.semestr.ru
∆2,4 = 2•(3•2-2•6)-3•(3•2-2•5)+1•(3•6-3•5) = 3
math.semestr.ru
∆3,1 = 3•(7•1-2•4)-5•(5•1-2•4)+2•(5•4-7•4) = -4
math.semestr.ru
∆3,2 = -2•(7•1-2•4)-3•(5•1-2•4)+1•(5•4-7•4) = 1
math.semestr.ru
∆3,3 = 2•(5•1-2•4)-3•(3•1-2•4)+1•(3•4-5•4) = 1
math.semestr.ru
∆3,4 = -2•(5•2-2•7)-3•(3•2-2•5)+1•(3•7-5•5) = 0
math.semestr.ru
∆4,1 = -3•(7•3-6•4)-5•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -12
math.semestr.ru
∆4,2 = 2•(7•3-6•4)-3•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -3
math.semestr.ru
∆4,3 = -2•(5•3-3•4)-3•(3•3-3•4)+3•(3•4-5•4) = 9
math.semestr.ru
∆4,4 = 2•(5•6-3•7)-3•(3•6-3•5)+3•(3•7-5•5) = -3
Обратная матрица
math.semestr.ru
Вектор результатов X
X = A-1 ∙ B
m4_image024.gif
math.semestr.ru
XT = (2,-1,-0.33,1)
x1 = 2; x2 = -1; x3 = -0.33; x4 = 1

Пример №3. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения.
Решение:xls

Пример №4. Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы.
Решение:xls

Пример №5. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.
Методические рекомендации. После решения методом Крамера, найдите кнопку “Решение методом обратной матрицы для исходных данных”. Вы получите соответствующее решение. Таким образом, данные вновь заполнять не придется.
Решение. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B – матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B:
BT=(4,-3,-3)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=-1•(-2•(-1)-1•1)-3•(3•(-1)-1•0)+2•(3•1-(-2•0))=14
Итак, определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.
Пусть имеем невырожденную матрицу А:

A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

Тогда:

A=1/∆
A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрицаВычисляем алгебраические дополнения.

∆1,1=(-2•(-1)-1•1)=1
∆1,2=-(3•(-1)-0•1)=3
∆1,3=(3•1-0•(-2))=3
∆2,1=-(3•(-1)-1•2)=5
∆2,2=(-1•(-1)-0•2)=1
∆2,3=-(-1•1-0•3)=1
∆3,1=(3•1-(-2•2))=7
∆3,2=-(-1•1-3•2)=7
∆3,3=(-1•(-2)-3•3)=-7

Обратная матрицаВектор результатов XX=A-1 • B

XT=(-1,1,2)
x1=-14 / 14=-1
x2=14 / 14=1
x3=28 / 14=2
Проверка.
-1•-1+3•1+0•2=4
3•-1+-2•1+1•2=-3
2•-1+1•1+-1•2=-3
doc:xls
Ответ: -1,1,2.

Пример №6. Решить неоднородную систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.

Запишем матрицу в виде:

Главный определитель
∆=4•(0•1-3•(-2))-2•(1•1-3•(-1))+0•(1•(-2)-0•(-1))=16

Транспонированная матрицаАлгебраические дополнения.

∆1,1=(0•1-(-2•3))=6
∆1,2=-(1•1-(-1•3))=-4
∆1,3=(1•(-2)-(-1•0))=-2
∆2,1=-(2•1-(-2•0))=-2
∆2,2=(4•1-(-1•0))=4
∆2,3=-(4•(-2)-(-1•2))=6
∆3,1=(2•3-0•0)=6
∆3,2=-(4•3-1•0)=-12
∆3,3=(4•0-1•2)=-2

Обратная матрица

A-1=
0,38 -0,25 -0,13
-0,13 0,25 0,38
0,38 -0,75 -0,13

Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.
E=A*A-1=

(4•6)+(1•(-2))+(-1•6) (4•(-4))+(1•4)+(-1•(-12)) (4•(-2))+(1•6)+(-1•(-2))
(2•6)+(0•(-2))+(-2•6) (2•(-4))+(0•4)+(-2•(-12)) (2•(-2))+(0•6)+(-2•(-2))
(0•6)+(3•(-2))+(1•6) (0•(-4))+(3•4)+(1•(-12)) (0•(-2))+(3•6)+(1•(-2))

Пример №7. Решение матричных уравнений.
Обозначим:

Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 3*(1*0 – 3*4) – 2*(0*0 – 3*5) + -1*(0*4 – 1*5) = -1
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
Алгебраические дополнения
∆1,1 = (1*0 – 4*3) = -12
∆1,2 = -(0*0 – 5*3) = 15
∆1,3 = (0*4 – 5*1) = -5
∆2,1 = -(2*0 – 4*(-1)) = -4
∆2,2 = (3*0 – 5*(-1)) = 5
∆2,3 = -(3*4 – 5*2) = -2
∆3,1 = (2*3 – 1*(-1)) = 7
∆3,2 = -(3*3 – 0*(-1)) = -9
∆3,3 = (3*1 – 0*2) = 3
Обратная матрица A-1.
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A-1
Ответ:

Пример №8. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B – матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B:
BT=(31,13,10)

Посмотреть все шаги решения

XT=(4.05,6.13,7.54)
x1=158 / 39=4.05
x2=239 / 39=6.13
x3=294 / 39=7.54
Проверка.
-2•4.05+-1•6.13+6•7.54=31
1•4.05+-1•6.13+2•7.54=13
2•4.05+4•6.13+-3•7.54=10

Пример №9. Обозначим через А – матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B – матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B:
BT=(31,13,10)

Посмотреть всё решение

XT=(5.21,4.51,6.15)
x1=276 / 53=5.21
x2=239 / 53=4.51
x3=326 / 53=6.15
Проверка.
-2•5.21+1•4.51+6•6.15=31
1•5.21+-1•4.51+2•6.15=13
2•5.21+4•4.51+-3•6.15=10

Пример №10. Решение матричных уравнений.
Обозначим:

Тогда матричное уравнение запишется в виде: Y·A = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 2*(-3) – 1*3 = -9
Определитель матрицы А равен detA=-9
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT.
Алгебраические дополнения
A11 = (-1)1+1·-3 = -3; A12 = (-1)1+2·3 = -3; A21 = (-1)2+1·1 = -1; A22 = (-1)2+2·2 = 2;
Обратная матрица A-1.
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A-1
Ответ:

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
( left{ begin{array}{l}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + cdots + a_{1n}x_n = b_1 \a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + cdots + a_{2n}x_n = b_2 \cdots \a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + cdots + a_{mn}x_n = b_mend{array} right. tag{1} )

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от (n) переменных( x_1 , ldots x_n ), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа (a_{ij} in mathbb{R} ) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения (i) и номеромнеизвестного (j). Действительные числа ( b_1 , ldots b_m ) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если ( b_1 = b_2 = ldots = b_m = 0 ). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных ( x_1^circ, ldots , x_n^circ ),при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУвсегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной.При (m=n), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты (a_{ij}) СЛАУ при одном неизвестном (x_j) как элементы столбца, а (x_j) как коэффициент, на который умножаетсястолбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
( begin{pmatrix}a_{11} \a_{21} \vdots \a_{m1}end{pmatrix} x_1 + begin{pmatrix}a_{12} \a_{22} \vdots \a_{m2}end{pmatrix} x_2 + ldots + begin{pmatrix}a_{1n} \a_{2n} \vdots \a_{mn}end{pmatrix} x_n = begin{pmatrix}b_1 \b_2 \vdots \b_mend{pmatrix} )
или, обозначая столбцы соответственно ( a_1 , ldots , a_n , b ),
( x_1 a_1 + x_2 a_2 + ldots + x_n a_n = b tag{2} )

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца (b) в виде линейной комбинации столбцов ( a_1, ldots, a_n ).Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Обратим внимание на то, что слева в каждом уравнении системы (1) стоит сумма попарных произведений — так же, как и в произведении двух матриц.Если взять за основу произведение матриц, то СЛАУ (1) можно записать так :
( begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \vdots & vdots & ddots & vdots \a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}end{pmatrix} begin{pmatrix}x_1 \x_2 \vdots \x_nend{pmatrix} = begin{pmatrix}b_1 \b_2 \vdots \b_mend{pmatrix} )
или (Ax=b), где (A) — матрица размера (m times n); (x) — столбец неизвестных; (b) — столбец свободных членов:
( A = begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \vdots & vdots & ddots & vdots \a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}end{pmatrix} ,; )( X = begin{pmatrix}x_1 \x_2 \vdots\x_nend{pmatrix} ,; )( B = begin{pmatrix}b_1 \b_2 \vdots \b_mend{pmatrix} )

Поскольку (A ;,; X) и (B) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде (AX=B) называют матричной. Если (B=0), то СЛАУявляется однородной и в матричной записи имеет вид (AX=0).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида (AX=B)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

“Триединство” форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеетдля неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
( A = begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \vdots & vdots & ddots & vdots \a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}end{pmatrix} )
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
( (A|B) = left( begin{array}{cccc|c}a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} & b_1 \a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} & b_2 \vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn} & b_mend{array} right) )
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно(если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ (AX=B) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы (A) был равен рангуеё расширенной матрицы ( (A|B) ).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется поформулам Крамера :
$$ x_i = frac{Delta_i}{|A|} ;,quad i=overline{1,n} tag{3} $$
где (Delta_i) — определитель матрицы, получающейся из матрицы (A) заменой (i)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методынахождения решений.

Однородные системы

Следующая теорема описывает важнейшее свойство множества решений однородной системы (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными.

Теорема. Если столбцы ( X^{(1)}, X^{(2)}, ldots , X^{(s)} ) — решения однородной СЛАУ (AX=0), то любая их линейная комбинациятакже является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения ( X^{(1)}, ldots , X^{(s)} ) системы (AX=0), чтобы любое другое решение этой системыпредставлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из (k=n-r) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ (AX=0), где(n) — количество неизвестных в системе, а (r) — ранг её матрицы (A), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице(A) однородной СЛАУ (AX=0) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающихэтим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, илинезависимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ (AX=0) с (n) неизвестными и ( text{rang}A = r ). Тогда существует набор из (k=n-r)решений ( X^{(1)}, ldots , X^{(k)} ) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решенийназывают фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^{(1)} + ldots + c_kX^{(k)} $$
где постоянные ( c_i ;, quad i=overline{1,k} ), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ (AX=B). Заменив столбец (B) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ (AX=0), соответствующуюнеоднородной СЛАУ (AX=B). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец (X^circ) — некоторое решение СЛАУ (AX=B). Произвольный столбец (X) является решением этой СЛАУ тогда итолько тогда, когда он имеет представление (X = X^circ + Y ), где (Y) — решение соответствующей однородной СЛАУ (AY=0).

Следствие. Пусть (X’) и (X”) — решения неоднородной системы (AX=B). Тогда их разность ( Y = X’ – X” ) являетсярешением соответствующей однородной системы (AY=0).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одноеё решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых,найти частное решение (X^circ) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть (X^circ) — частное решение СЛАУ (AX=B) и известна фундаментальная системарешений ( X^{(1)}, ldots , X^{(k)} ) соответствующей однородной системы (AX=0). Тогда любое решение СЛАУ (AX=B) можно представить в виде$$ X = X^circ + c_1 X^{(1)} + c_2 X^{(2)} + ldots + c_k X^{(k)} $$
где ( c_i in mathbb{R} ;, quad i=overline{1,k} ).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Где можно решить уравнение матричным методом онлайн с решением?

Решить уравнение матричным способом онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» – «Работа с данными» – «Анализ «что-если»» – «Подбор параметра».

Подбор параметра.

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

  1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.Формула.
  2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» – ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» – В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.Параметры.
  3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Пример.Параметры вычислений.

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Шаг 1

Выделите данные, которые вы хотите отобразить, щелкнув в верхнем левом углу данных и перетащив мышку в нижний правый угол.

Шаг 2

Нажмите на вкладку «Вставить».

Второй метод

Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

1. Создаете два диапазона.

word-image-146.png

На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

Решение уравнений в excel - примеры решений

3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

Решение уравнений в excel - примеры решений

Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

word-image-149.png

4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

word-image-150.png

Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

Шаг 3

Выберите «Линейный график» и выберите «2-D линия». Excel нарисует график для линейного уравнения на основе введенной вами таблицы значений.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...