Как найти среднее геометрическое чисел: формула, примеры

Среднее геометрическое

Советы

  • Различия между средним арифметическим и средним геометрическим:
    • Для вычисления среднего арифметического, например, чисел 3, 4 и 18, необходимо их сложить 3 + 4 + 18, а затем разделить на 3 (потому что изначально даны три числа). Ответ равен 25/3 или примерно 8,333; это означает, что если сложить 8,3333 три раза подряд, то ответ будет таким же, как при сложении чисел 3, 4, и 18. Среднее арифметическое отвечает на вопрос: «Если все величины имеют одинаковое значение, то каким это значение должно быть, чтобы при суммировании получился один результат?»
    • Напротив, среднее геометрическое отвечает на вопрос: «Если все величины имеют одинаковое значение, то каким это значение должно быть, чтобы при перемножении получился один результат?» Поэтому, чтобы найти среднее геометрическое чисел 3, 4 и 18, мы перемножаем эти числа: 3 x 4 x 18. Получаем 216. Затем мы берем кубический корень из полученного результата перемножения (кубический корень, так как в вычислении участвуют три числа). Ответ будет 6. Другими словами, так как 6 x 6 x 6 = 3 x 4 x 18, то 6 является средним геометрическим чисел 3, 4 и 18.
  • Среднее геометрическое всегда меньше или равно среднему арифметическому. Более подробно читайте тут.
  • Среднее геометрическое рассчитывается только для положительных чисел. Схема решения различных прикладных задач с использованием среднего геометрического не будет работать в случае наличия отрицательных чисел.

Расчет среднего геометрического

Чтобы вычислить среднее геометрическое двух или более чисел, требуется их перемножить, а затем из полученного результата извлечь корень, степень которого равняется их количеству.

Допустим, у нас есть числа a1, a2, … , an. Среднее геометрическое находится по формуле:

Формула расчета среднего геометрического чисел

Частные случаи формулы:

Онлайн калькулятор

Среднее геометрическое:

Просто введите положительные вещественные числа и получите среднее геометрическое этих чисел. Для того чтобы добавить в ряд более двух чисел воспользуйтесь зелёной кнопкой “+”.

Формула среднего геометрического

Среднее геометрическое

Интересный факт: среднее геометрическое всегда будет меньше среднего арифметического тех же чисел. За исключением случая, когда все взятые числа равны друг другу.

Что такое Среднее геометрическое?

Среднее геометрическое – это среднее значение набора продуктов, расчет которого обычно используется среднее арифметическое работает с самими значениями.

Среднее геометрическое является важным инструментом для расчета эффекты начисления сложных процентов .

Ключевые моменты

  • Среднее геометрическое – это средняя доходность набора значений, рассчитанная с использованием произведений условий.
  • Среднее геометрическое больше всего подходит для рядов, демонстрирующих последовательную корреляцию – это особенно верно для инвестиционных портфелей.
  • Большинство доходов в финансах коррелированы, включая доходность облигаций, доходность акций и премии за рыночный риск.
  • Для изменчивых чисел среднее геометрическое обеспечивает гораздо более точное измерение истинной доходности за счет учета годового сложения, которое сглаживает среднее значение.

Комментарии к калькулятору

Количество комментариев: 0

Еще не оставлено ни одного комментария.

Расчет

Среднее геометрическое значение набора данных определяется как: { а 1 , а 2 , … , а п } { textstyle left {a_ {1}, a_ {2}, , ldots, , a_ {n} right }} { textstyle  left  {a_ {1}, a_ {2}, ,  ldots, , a_ {n}  right }}

( ∏ я знак равно 1 п а я ) 1 п знак равно а 1 а 2 ⋯ а п п . { displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = { sqrt [{n}] {a_ {1} a_ {2} cdots a_ {n}}}.} { displaystyle  left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}  right) ^ { frac {1} {n}} = { sqrt [{n}] {a_ {1} a_ {2}  cdots a_ {n}}}.}

На приведенном выше рисунке используется запись с большой буквы, чтобы показать серию умножений. Каждая сторона знака равенства показывает, что набор значений последовательно умножается (количество значений представлено буквой «n»), чтобы получить общий продукт набора, а затем корень n- й степени из общего продукта берется в укажите среднее геометрическое для исходного набора. Например, в наборе из четырех чисел произведение равно , а среднее геометрическое – это корень четвертой степени из 24, или ~ 2,213. Показатель в левой части эквивалентен извлечению корня n- й степени. Например, . { 1 , 2 , 3 , 4 } { textstyle {1,2,3,4 }} { textstyle  {1,2,3,4 }} 1 × 2 × 3 × 4 { textstyle 1 раз 2 раз 3 раз 4} { textstyle 1  раз 2  раз 3  раз 4} 24 { textstyle 24} { textstyle 24} 1 п { textstyle { frac {1} {п}}} { textstyle { frac {1} {п}}} 24 1 4 знак равно 24 4 { textstyle 24 ^ { frac {1} {4}} = { sqrt [{4}] {24}}} { textstyle 24 ^ { frac {1} {4}} = { sqrt [{4}] {24}}}

Итерационные средства

Среднее геометрическое значение набора данных меньше среднего арифметического набора данных, если только все элементы набора данных не равны, и в этом случае геометрическое и среднеарифметическое значение равны. Это позволяет определить среднее арифметико-геометрическое , пересечение двух, которое всегда находится между ними.

Среднее геометрическое также является средним арифметически-гармоническим в том смысле, что если определены две последовательности ( ) и ( ): а п { textstyle a_ {n}} { textstyle a_ {n}} час п { textstyle h_ {n}} { textstyle h_ {n}}

а п + 1 знак равно а п + час п 2 , а 0 знак равно Икс { displaystyle a_ {n + 1} = { frac {a_ {n} + h_ {n}} {2}}, quad a_ {0} = x} { displaystyle a_ {n + 1} = { frac {a_ {n} + h_ {n}} {2}},  quad a_ {0} = x}

а также

час п + 1 знак равно 2 1 а п + 1 час п , час 0 знак равно у { displaystyle h_ {n + 1} = { frac {2} {{ frac {1} {a_ {n}}} + { frac {1} {h_ {n}}}}}}, quad h_ {0} = y} { displaystyle h_ {n + 1} = { frac {2} {{ frac {1} {a_ {n}}} + { frac {1} {h_ {n}}}}}},  quad h_ {0} = y}

где – гармоническое среднее предыдущих значений двух последовательностей, тогда и будет сходиться к среднему геометрическому для и . час п + 1 { textstyle h_ {n + 1}} { textstyle h_ {n + 1}} а п { textstyle a_ {n}} { textstyle a_ {n}} час п { textstyle h_ {n}} { textstyle h_ {n}} Икс { textstyle x} { textstyle x} у { textstyle y} { textstyle y}

Это легко увидеть из того факта, что последовательности сходятся к общему пределу (что можно показать с помощью теоремы Больцано – Вейерштрасса ), и того факта, что среднее геометрическое сохраняется:

а я час я знак равно а я + час я а я + час я час я а я знак равно а я + час я 1 а я + 1 час я знак равно а я + 1 час я + 1 { displaystyle { sqrt {a_ {i} h_ {i}}} = { sqrt { frac {a_ {i} + h_ {i}} { frac {a_ {i} + h_ {i}} { h_ {i} a_ {i}}}}} = { sqrt { frac {a_ {i} + h_ {i}} {{ frac {1} {a_ {i}}} + { frac {1) } {h_ {i}}}}}} = { sqrt {a_ {i + 1} h_ {i + 1}}}} { displaystyle { sqrt {a_ {i} h_ {i}}} = { sqrt { frac {a_ {i} + h_ {i}} { frac {a_ {i} + h_ {i}} { h_ {i} a_ {i}}}}} = { sqrt { frac {a_ {i} + h_ {i}} {{ frac {1} {a_ {i}}} + { frac {1) } {h_ {i}}}}}} = { sqrt {a_ {i + 1} h_ {i + 1}}}}

Замена арифметического и гармонического среднего парой обобщенных средних противоположных конечных показателей дает тот же результат.

Связь с логарифмами

Среднее геометрическое также может быть выражено как экспонента среднего арифметического логарифмов. Используя логарифмические тождества для преобразования формулы, умножения можно выразить как сумму, а степень как умножение:

Когда а 1 , а 2 , … , а п > 0 { displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n}> 0} { displaystyle a_ {1}, a_ {2},  dots, a_ {n}> 0}

( ∏ я знак равно 1 п а я ) 1 п знак равно exp ⁡ [ 1 п ∑ я знак равно 1 п пер ⁡ а я ] ; { displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = exp left [{ frac {1} {n }} sum _ {i = 1} ^ {n} ln a_ {i} right];} { displaystyle  left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}  right) ^ { frac {1} {n}} =  exp  left [{ frac {1} {n }}  sum _ {i = 1} ^ {n}  ln a_ {i}  right];}

дополнительно, если разрешены отрицательные значения , а я { displaystyle a_ {i}} а_ {i}

( ∏ я знак равно 1 п а я ) 1 п знак равно ( ( – 1 ) м ) 1 п exp ⁡ [ 1 п ∑ я знак равно 1 п пер ⁡ | а я | ] , { displaystyle left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} right) ^ { frac {1} {n}} = left ( left (-1 right) ^ { m} right) ^ { frac {1} {n}} exp left [{ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} ln left | a_ { i} right | right],} { displaystyle  left ( prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}  right) ^ { frac {1} {n}} =  left ( left (-1  right) ^ { m}  right) ^ { frac {1} {n}}  exp  left [{ frac {1} {n}}  sum _ {i = 1} ^ {n}  ln  left | a_ { i}  right |  right],}

где m – количество отрицательных чисел.

Иногда это называется логарифмическим средним (не путать с логарифмическим средним ). Это просто вычисление среднего арифметического значений, преобразованных в логарифм (т. Е. Среднего арифметического в логарифмической шкале), а затем использование возведения в степень, чтобы вернуть вычисление к исходному масштабу, т. Е. Это обобщенное f-среднее с . Например, среднее геометрическое 2 и 8 можно рассчитать следующим образом, где – любое основание логарифма (обычно 2 или 10): а я { displaystyle a_ {i}} а_ {i} ж ( Икс ) знак равно бревно ⁡ Икс { Displaystyle е (х) = журнал х} е (х) =  журнал х б { displaystyle b} б е { displaystyle e} е

б 1 2 [ бревно б ⁡ ( 2 ) + бревно б ⁡ ( 8 ) ] знак равно 4 { displaystyle b ^ {{ frac {1} {2}} left [ log _ {b} (2) + log _ {b} (8) right]} = 4} { displaystyle b ^ {{ frac {1} {2}}  left [ log _ {b} (2) +  log _ {b} (8)  right]} = 4}

В связи с вышеизложенным можно видеть, что для данной выборки точек среднее геометрическое является минимизатором , а среднее арифметическое – минимизатором . Таким образом, среднее геометрическое представляет собой сводку выборок, показатель степени которых лучше всего соответствует показателям степени образцов (в смысле наименьших квадратов). а 1 , … , а п { displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}} a_1,  ldots, a_n ж ( а ) знак равно ∑ я знак равно 1 п ( бревно ⁡ ( а я ) – бревно ⁡ ( а ) ) 2 { Displaystyle е (а) = сумма _ {я = 1} ^ {п} ( журнал (а_ {я}) – журнал (а)) ^ {2}} { Displaystyle е (а) =  сумма _ {я = 1} ^ {п} ( журнал (а_ {я}) -  журнал (а)) ^ {2}} ж ( а ) знак равно ∑ я знак равно 1 п ( а я – а ) 2 { Displaystyle е (а) = сумма _ {я = 1} ^ {п} (а_ {я} -а) ^ {2}} { Displaystyle е (а) =  сумма _ {я = 1} ^ {п} (а_ {я} -а) ^ {2}}

Логарифмическая форма среднего геометрического обычно является предпочтительной альтернативой для реализации на компьютерных языках, поскольку вычисление произведения многих чисел может привести к арифметическому переполнению или потере значимости . Это менее вероятно с суммой логарифмов для каждого числа.

Сравнение со средним арифметическим

Среднее геометрическое для непустого набора данных (положительных) чисел всегда равно их среднему арифметическому. Равенство достигается только тогда, когда все числа в наборе данных равны; в противном случае среднее геометрическое меньше. Например, среднее геометрическое 242 и 288 равно 264, а их среднее арифметическое – 265. В частности, это означает, что когда набор неидентичных чисел подвергается сохраняющему среднее значение разбросу, то есть элементам множества “разнесены” больше друг от друга, при этом среднее арифметическое остается неизменным – их среднее геометрическое уменьшается.

Средняя скорость роста

Во многих случаях среднее геометрическое является лучшим показателем для определения средней скорости роста некоторой величины. (Например, если в течение одного года продажи увеличиваются на 80%, а в следующем году на 25%, конечный результат будет таким же, как и при постоянном темпе роста в 50%, поскольку среднее геометрическое 1,80 и 1,25 равно 1,50.) Для определения средней скорости роста необязательно брать произведение измеренных темпов роста на каждом этапе. Пусть количество задается в виде последовательности , где – количество шагов от начального до конечного состояния. Скорость роста между последовательными измерениями и составляет . Среднее геометрическое этих темпов роста тогда просто: а 0 , а 1 , . . . , а п { displaystyle a_ {0}, a_ {1}, …, a_ {n}} { displaystyle a_ {0}, a_ {1}, ..., a_ {n}} п { displaystyle n} п а k { displaystyle a_ {k}} а_ {к} а k + 1 { displaystyle a_ {k + 1}} а_ {к + 1} а k + 1 / а k { Displaystyle а_ {к + 1} / а_ {к}} а_ {к + 1} / а_ {к}

( а 1 а 0 а 2 а 1 ⋯ а п а п – 1 ) 1 п знак равно ( а п а 0 ) 1 п . { displaystyle left ({ frac {a_ {1}} {a_ {0}}} { frac {a_ {2}} {a_ {1}}}} cdots { frac {a_ {n}} { a_ {n-1}}} right) ^ { frac {1} {n}} = left ({ frac {a_ {n}} {a_ {0}}} right) ^ { frac { 1} {n}}.} { displaystyle  left ({ frac {a_ {1}} {a_ {0}}} { frac {a_ {2}} {a_ {1}}}}  cdots { frac {a_ {n}} { a_ {n-1}}}  right) ^ { frac {1} {n}} =  left ({ frac {a_ {n}} {a_ {0}}}  right) ^ { frac { 1} {n}}.}

Решение задачи

Для начала продумаем наше решение. Оно ну очень простое. Введем числа, потом просто подставим их в формулу среднего арифметического и среднего геометрического и всё)

Для того чтобы решить задачу нам понадобятся следующее переменные :

  1. Переменные num1 и num2 — для наших двух чисел
  2. Переменная sredA — для среднего арифметического
  3. Переменная sredG — для среднего геометрического

Свойства среднего геометрического

1. Среднее геометрическое значение множества заданных неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого множества.

2. Кроме того среднее геометрическое подчиняется неравенству о средних для множества положительных вещественных чисел

amin   ≤   aср. гарм   ≤   aср. геом   ≤   aср. арифм   ≤   a ср.квадр ≤   a max [2] ,

то есть для любого множества положительных чисел среднее геометрическое никогда не бывает больше среднего арифметического [1]:

  n

 a1 · a2 · … · an
 

 ≤  

a1+ a2+ …+ an

n
 

Об этой статье

Эту страницу просматривали 121 074 раза.

Теория

Среднее геометрическое нескольких положительных вещественных чисел – это такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.

Формула

x̅геом = nx1 ⋅ x2 ⋅ … ⋅ xn

Пример

К примеру, рассмотрим три числа 3, 8 и 9. Среднее геометрическое этих трёх чисел:

x̅геом = 33 ⋅ 8 ⋅ 9 = 3216 = 6

Таким образом:

3 ⋅ 8 ⋅ 9 = 216 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6

В геометрии

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

На рисунке Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG

Как рассчитать среднее геометрическое

Чтобы рассчитать сложные проценты с использованием среднего геометрического дохода от инвестиций, инвестору необходимо сначала рассчитать проценты в первом году, которые составляют 10 000 долларов, умноженные на 10%, или 1000 долларов. На второй год новая основная сумма составляет 11000 долларов, а 10% от 11000 долларов составляют 1100 долларов. Новая основная сумма теперь составляет 11000 долларов плюс 1100 долларов, или 12100 долларов.

На третий год новая основная сумма составляет 12 100 долларов, а 10% от 12 100 долларов составляют 1210 долларов. По прошествии 25 лет 10 000 долларов США превращаются в 108 347,06 долларов США, что на 98 347,05 долларов США больше первоначальных инвестиций. Более короткий путь состоит в том, чтобы умножить текущую основную сумму долга на единицу плюс процентную ставку, а затем поднять коэффициент до числа сложенных лет. Расчет: 10 000 долларов США

Примечания

Столбчатая диаграмма · Совмещённая диаграмма · Диаграмма управления · Лесная диаграмма · Гистограмма · Q-Q диаграмма · Диаграмма выполнения · Диаграмма разброса · Стебель-листья · Ящик с усами

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...