Использование электронных таблиц Excel для построения распределений случайных величин (СВ) и генерации случайных чисел – КТНО

Это руководство по распределению Пуассона в Excel. Здесь мы обсуждаем, как использовать функцию распределения Пуассона в Excel, а также примеры и шаблон Excel.

Синтаксис

ПУАССОН.РАСП(x;среднее;интегральная)

Аргументы функции ПУАССОН.РАСП описаны ниже.

  • X     Обязательный. Количество событий.

  • Среднее     Обязательный. Ожидаемое числовое значение.

  • Интегральная     — обязательный аргумент. Логическое значение, определя которое определяет форму возвращаемого распределения вероятности. Если “накопительный” имеет true, ПУАССОН. DIST возвращает совокупную вероятность того, что число случайных событий будет в порядке от нуля до x включительно; Если этот ложь, возвращается функция массовой вероятности Пуассона, которая вероятность того, что количество произошедших событий будет точно x.

Применение распределения Пуассона

Примеры, когда Распределение Пуассона является адекватной моделью:

  • число вызовов, поступивших на телефонную станцию за определенный период времени;
  • число частиц, подвергнувшихся радиоактивному распаду за определенный период времени;
  • число дефектов в куске ткани фиксированной длины.

Распределение Пуассона является адекватной моделью, если выполняются следующие условия:

  • события происходят независимо друг от друга, т.е. вероятность последующего события не зависит от предыдущего;
  • средняя частота событий постоянна. Как следствие, вероятность события пропорциональна длине интервала наблюдения;
  • два события не могут произойти одновременно;
  • число событий должно принимать значения 0; 1; 2…

Примечание : Хорошей подсказкой, что наблюдаемая случайная величина имеет распределение Пуассона, является тот факт, что среднее значение выборки приблизительно равно дисперсии (см. ниже).

Ниже представлены примеры ситуаций, когда Распределение Пуассона не может быть применено:

  • число студентов, которые выходят из университета в течение часа (т.к. средний поток студентов не постоянен: во время занятий студентов мало, а в перерыве между занятиями число студентов резко возрастает);
  • число землетрясений амплитудой 5 баллов в год в Калифорнии (т.к. одно землетрясение может вызвать повторные толчки сходной амплитуды – события не независимы);
  • число дней, которые пациенты проводят в отделении интенсивной терапии (т.к. число дней, которое пациенты проводят в отделении интенсивной терапии всегда больше 0).

Примечание : Распределение Пуассона является приближением более точных дискретных распределений: Гипергеометрического и Биномиального .

Примечание : О взаимосвязи распределения Пуассона и Биномиального распределения можно прочитать в статье Взаимосвязь некоторых распределений в MS EXCEL . О взаимосвязи распределения Пуассона и Экспоненциального распределения можно прочитать в статье про Экспоненциальное распределение .

Описание функции ПУАССОН.РАСП

Возвращает распределение Пуассона. Обычное применение распределения Пуассона состоит в предсказании количества событий, происходящих за определенное время, например количества машин, появляющихся на площади за одну минуту.

§ 5. 

38( img1158.gif).

(E2) (D3):  img1060.gif, img1159.gif.

39( img1160.gif).

img1161.gif;  img1162.gif;  img1163.gif.

40( img1164.gif).

. ͣ – img18.gif img874.gif img1165.gif. img1166.gif img1164.gif, (E4) :

img1167.gif

img1168.gif , img1169.gif,

img1170.gif

, img1171.gif, img1172.gif img661.gif.

41( img1173.gif).

img155.gif:

img1174.gif

« » img155.gif:

img1175.gif

ģ :

img1176.gif

42( img1177.gif).

img155.gif:

img1178.gif

img1179.gif img5.gif. , img155.gif

img1180.gif

img1181.gif img1182.gif.

43( img1183.gif).

:

img1184.gif

img1185.gif

img1186.gif.

44( img701.gif).

img1187.gif:

img1188.gif

img155.gif

img1189.gif

ޣ . ,

img1190.gif

img1191.gif

45( img706.gif).

img694.gif, img1192.gif.

img1193.gif, img1194.gif. ( , )

img1195.gif

46( img1196.gif).

ģ img480.gif img2.gif.

img1197.gif

– :

img1198.gif

img1199.gif

47( img1200.gif).

,

img1201.gif

– , ģ img1202.gif. , .  img1203.gif.

48( ).

img1204.gif,

img1205.gif

img1204.gif, ģ img1206.gif, img1207.gif.

45. img1204.gif

.  

img174.gif

?

?

next up previous contents index
Next:    Up:    Previous:  N.Ch.

Распределение Пуассона – определение

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Другими словами, если событие происходит с некоторой периодичностью, то мы можем определить вероятность, что такое событие произойдёт n раз за интересующий нас период.

Параметр лямбда – λ

Распределение Пуассона зависит только от одного параметра – λ, данный параметр зависит от вероятности успешного события и общего количества событий.
Успешное событие: распределение Пуассона применяется только тогда, когда есть разделение на результат “да” и “нет”, например, лампочка перегорела: да – успешное событие; шина прокололась: да – успешное событие и так далее.

Успешное событие не то же самое, что желаемое

λ = n*p, где p – вероятность успешного события, а n – общее количество событий, для которых ведётся расчёт.
Например, если гроза проходит раз в месяц и мы хотим посчитать вероятность грозы за 24 месяца, то вероятность равна единице, а количество событий равно 24, откуда лямбда равна 24.
Можно считать по-другому, вероятность грозы в конкретный день – 1/30, количество событий – 730 дней, лямбда равна 24.3.

Пример

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет меньше 4 ящиков с яблоком голден?

Вероятность ящика с яблоком голден – 0.1% (1 ящик на 1000 = 1/1000, если в процентах – 1/1000 * 100 = 0.1%)
Общее количество событий – 5000 ящиков
Из вышесказанного следует:
λ = 5000 * 0.001 = 5

Функция вероятности (формула Пуассона)

Вероятность, что успешное событие произойдёт k раз:

f(k) = P(k) = λk * e-λ / k!

Пример

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет 2 ящика с яблоком голден?

Из предыдущего примера мы знаем, что λ=5, теперь мы ищем вероятность, что k будет равно 2, для этого используем формулу функции вероятности:

f(4) = P(k = 4) = λk e-λ / k! = 52 * e-5 / 2! = 0.084 = 8.4%

Моменты

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

{displaystyle M_{Y}(t)=e^{lambda left(e^{t}-1right)}},

откуда

{displaystyle mathbb {E} [Y]=lambda },{displaystyle mathrm {D} [Y]=lambda }.

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:

математическое ожидание drv074.gif

стандартное отклонение drv075.gif

дисперсия drv076.gif.

Генерация случайных чисел и оценка λ

С помощью надстройки Пакет анализа можно сгенерировать случайные числа, извлеченные из распределения Пуассона .

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с параметром λ=5. Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры:

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно оценить параметр λ для каждого массива с помощью функции СРЗНАЧ() , см. файл примера лист Генерация .

Биномиальное распределение Пуассона в Excel

Пример 2. На заводе по производству мониторов ожидается, что 5% изделий будут бракованными. Была взята выборка из 30 мониторов. Определить вероятность того, что 1 монитор из 30 окажется бракованным. Для решения использовать распределение Пуассона и биномиальное распределение, полученные результаты сравнить.

Вид таблицы данных:

Пример 2.

Для определения вероятности события, при котором в выборке будет найден один бракованный монитор с использованием распределения Пуассона запишем функцию:

=ПУАССОН.РАСП(B2;B4*B3;ЛОЖЬ())

Произведение B4*B3 соответствует среднему ожидаемому значению (1,5). Полученный результат:

задачи на распределение Пуассона.

Для расчета с использованием биномиального распределения запишем функцию:

=БИНОМ.РАСП(B2;B3;B4;ЛОЖЬ())

Результат вычислений:

БИНОМ.РАСП.

Как видно, для данной математической модели подходят оба метода определения вероятностей, поскольку полученные значения отличаются незначительно.

Голы по Пуассону

Теперь мы можем посчитать вероятности на разные исходы этой встречи. В R это делается очень просто, но можно срезать углы и воспользоваться статистическим онлайн калькулятором.

> dpois(x=(0:5), lambda=2.26863)[1] 0.10345381 0.23469843 0.26622195 0.20131970 0.11417998 0.05180642> dpois(x=(0:5), lambda=1.05948)[1] 0.346636014 0.367253924 0.194549094 0.068706958 0.018198412 0.003856171

Итак, вероятности распределены следующим образом.

Голы 0 1 2 3 4 5
МЮ 34.663% 36.725% 19.454% 6.870% 1.819% 0.385%
МС 10.345% 23.469% 26.622% 20.131% 11.417% 5.180%

Вероятность того, что Манчестер Юнайтед не забьет ни одного гола составляет 34.663%, то же самое для Манчестер Сити — 10.345%, вероятность нулевого исхода встречи равна их произведению и составляет 3.586%. Матрица всех результатов от 0:0 до 5:5.

> a=dpois(x=(0:5), lambda=1.05948)> b=dpois(x=(0:5), lambda=2.26863)> A=a%*%t(b)> A [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6][1,] 0.0358608180 0.0813549276 0.092282115 0.0697846579 0.0395788921 0.0179579724[2,] 0.0379938195 0.0861939186 0.097771055 0.0739354494 0.0419330446 0.0190261126[3,] 0.0201268459 0.0456603665 0.051793239 0.0391665649 0.0222136111 0.0100788929[4,] 0.0071079969 0.0161254150 0.018291300 0.0138320641 0.0078449589 0.0035594618[5,] 0.0018826951 0.0042711387 0.004844817 0.0036636988 0.0020778943 0.0009427947[6,] 0.0003989356 0.0009050372 0.001026597 0.0007763231 0.0004402975 0.0001997744

Попробуем теперь рассчитать вероятность победы каждой из сторон, вероятность ничейного исхода и наконец определимся со ставками. Начнем с ничейного результата. Перемножаем векторы событий для МЮ и МС, и считаем сумму диагональной матрицы. Ставка 1 к 5.264.

> sum(diag(A))[1] 0.1899577> 1/sum(diag(A))[1] 5.26433

Шансы победы МС равны сумме всевозможных 1:0, 2:0, … 5:0, 2:1, 3:1, … и т. д. до 5:4. Ставка равна 1.619.

sum(A[1,2:6])+sum(A[2,3:6])+sum(A[3,4:6])+sum(A[4,5:6])+A[5,6][1] 0.61743051/(sum(A[1,2:6])+sum(A[2,3:6])+sum(A[3,4:6])+sum(A[4,5:6])+A[5,6])1.619615

Шансы победы МЮ поменьше, соответственно побольше будет ставка и денежный выигрыш — 1 к 5.191.

> 1 – (sum(A[1,2:6])+sum(A[2,3:6])+sum(A[3,4:6])+sum(A[4,5:6])+A[5,6] + sum(diag(A)))[1] 0.1926118> 1/(1 – (sum(A[1,2:6])+sum(A[2,3:6])+sum(A[3,4:6])+sum(A[4,5:6])+A[5,6] + sum(diag(A))))[1] 5.19179

Ставки сделаны!

Ставки на игру 1 x 2
Манчестер Сити — Манчестер Юнайтед 1.620 5.264 5.192

Конечно, модель Пуассона довольно проста и не учитывает множество факторов и обстоятельств: новый игрок, новый тренер, статус матча, обстоятельства клуба и т. д. Тем не менее Elihu Feustel умудряется на ставках зарабатывать миллионы, используя математические алгоритмы.

Использованные материалы

  • How to calculate football betting odds using Poisson Distribution
  • Распределение Пуассона на примере футбольных ставок
  • Football stats and results
  • Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики

В литературе

В Томасе Пинчон в романе , Радуга гравитации , одного из персонажей, статистик Roger Мексики, использует закон Пуассона для отображения областей влияния немецких V2 ракет по городу Лондон во время Второй мировой войны .

Решение примеров с распределением Пуассона

Пример 1. Менеджер телекоммуникационной компании решил рассчитать вероятность того, что в некотором небольшом городе в течении пяти минут поступят 0, 1, 2, . вызовов. Выбраны случайные интервалы в пять минут, подсчитано число вызовов в каждый их интервалов и рассчитано среднее число вызовов: drv028.gif.

Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.

Решение. По формуле Пуассона получаем:

drv029.gif

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel ПУАССОН.РАСП (значение интегральной величины — 0):

Вычислим вероятность того, что в течение пяти минут поступят не более 6 вызовов (значение интегральной величины — 1):

Решить пример самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Производитель отправил в некоторый город 1000 проверенных, то есть исправных телевизоров. Вероятность того, что при транспортировке телевизор выйдет из строя, равна 0,003. То есть в этом случае действует закон распределения Пуассона. Найти вероятность того, что из всех доставленных телевизоров неисправными будут: 1) два телевизора; 2) менее двух телевизоров.

Продолжаем решать примеры вместе

Пример 3. В центр звонков клиентов поступает поток звонков с интенсивностью 0,8 звонков в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) не придёт ни одного звонка; б) придёт ровно один звонок; в) придёт хотя бы один звонок.

Решение. Случайная величина X — число звонков за 2 минуты с параметром drv066.gif— распределена по закону Пуассона. У нас есть всё, чтобы вычислить требуемые в условии задачи вероятности:

а) drv067.gif(так как 0! = 1 ).

б) drv068.gif.

в) drv069.gif.

Пример 4. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, имеет интенсивность 4 состава в час. Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трёх составов.

Решение. Случайная величина X — число составов за 0,5 часа с параметром drv070.gif— распределена по закону Пуассона. Вычисляем требуемые в условии задачи вероятности:

а) drv071.gif.

б) drv072.gif.

в) drv073.gif.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...