Геометрическое распределение — Википедия с видео // WIKI 2

Геометрический закон распределения дискретной случайной величины. Формулы математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по геометрическому закону. Задачи по теории вероятностей с решением онлайн. Помощь студентам

Краткая теория

Дискретная случайная величина 100task.ru имеет геометрическое распределение спараметром 100task.ru,если она принимает значения 100task.ru (бесконечное, но счетное множество значений) свероятностями:

100task.ru

где 100task.ru

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:

Случайная величина 100task.ru,имеющая геометрическое распределение, представляет собой число 100task.ru испытаний, проведенных по схеме Бернулли, свероятностью 100task.ru наступления события в каждом испытании допервого положительного исхода.

Вероятности 100task.ru образуют собой геометрическую прогрессию спервым членом 100task.ru и знаменателем 100task.ru.

Определение геометрического распределения корректно, так как суммаряда:

100task.ru

 Так как

100task.ru

есть сумма геометрического ряда

100task.ru

при 100task.ru.

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром 100task.ru:

100task.ru

Дисперсия случайной величины X, имеющей геометрическое распределение:

100task.ru

Для геометрического распределения асимметрия и эксцесс:

100task.ru

100task.ru

Другие законы распределения дискретных случайных величин:

Смежные темы решебника:

  • Дискретная случайная величина
  • Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины
  • Гипергеометрический закон распределения дискретной случайной величины
  • Закон распределения Пуассона

Краткая теория

Пусть происходит серия независимых испытаний, в каждом из которых событие может появится с одной и той же вероятностью $p$. Тогда случайная величина $X$ – количество испытаний до первого появления события, имеет геометрическое распределение вероятностей.

Она может принимать всевозможные целые значения от 0 (событие произошло в первом испытании) и больше (счетное число значений). Формула для вычисления соответствующих вероятностей легко выводится:

$$ P(X=k) = q^k cdot p, k=0,1,2,…,n,… $$

Для геометрического распределения известны готовые формулы для математического ожидания и дисперсии:

$$M(X)=frac{q}{p}, quad D(X)=frac{q}{p^2}.$$

Ниже мы разберем несколько задач с решением, где встречается именно геометрическое распределение. Надо заметить, что гораздо чаще встречаются внешне похожие задачи (где важно число испытаний до первого успеха), но общее число испытаний ограничено (количество выниманий шаров, число патронов или выстрелов и т.п.), и формулы там будут несколько иные. Такие примеры вы найдете на странице Дискретные случайные величины.

Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу

§ 4. 

,

img155.gif img650.gif

, :

img651.gif

,

img155.gif img652.gif

    1, ..

img653.gif

.

img155.gif

:

img654.gifimg655.gif

,

img155.gif img472.gif

, :

img656.gif

,

img155.gif

1 0

img472.gif img524.gif

.

img155.gif img472.gif

: .

img155.gif

:

img155.gif    0   1 
img658.gif img524.gif img472.gif

img155.gif :

img659.gifimg660.gif

,

img155.gif img249.gif img458.gif

,  :

img661.gif

,

img155.gif img662.gif   img663.gif

.

img18.gif img472.gif

.

img155.gif

:

img664.gif

 img665.gif.

,

img473.gif img458.gif

,  

img666.gif

,

img473.gif img667.gif img668.gif

.

img472.gif

.

img473.gif

:

img669.gif

,

img155.gif img291.gif

,

img545.gif

, :

img1008.gif

,

img155.gif img671.gif img672.gif

.

img155.gif

.

,

img155.gif img18.gif

,

img107.gifimg124.gif

,

img673.gif

,

img126.gif

,

img155.gif img2.gif

,

img674.gif

,

img675.gif

,

img676.gif

.

img18.gif

, ,

img124.gif img125.gif

.

26.

, .

N.Ch.

1.Биномиальный закон распределения.

   Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.

Биномиальный закон распределения

   

   Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.

    Пример биномиального распределения   График биномиального закона распределения
Рис.1    

   В таблице m – число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. Сnm – число сочетаний m телевизоров по n, p – вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q – вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n – вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.

 

Примеры решения задач

Пример 1

Производится ряд попыток завести двигатель, каждая попытка длительностью10 с заканчивается запуском двигателя независимо от других с вероятностью 100task.ru. Найтираспределение количества попыток запуска двигателя. Вычислите математическоеожидание и дисперсию случайной величины.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь – свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Вероятность завести двигатель с 1-й попытки:

100task.ru

Вероятность завести двигатель со 2-й попытки:

100task.ru

Вероятность завести двигатель с 3-й попытки:

100task.ru

……

Вероятность завести двигатель с m-й попытки:

100task.ru

Получаем следующий ряд распределения количества попыток запускадвигателя:

Общее число попыток запуска двигателя подчинено закону геометрическогораспределения.

100task.ru

В нашем случае 100task.ru

Математическое ожидание в этом случае:

100task.ru

Дисперсия:

100task.ru

Пример 2

Дискретная случайная величина X распределена по геометрическомузакону с показателем p=0,6. Найти M(X2).

Решение

Математическое ожидание:

100task.ru

Дисперсия:

100task.ru

С другой стороны, дисперсию можно найти поформуле:

100task.ru

100task.ru

Ответ: 100task.ru 

Пример 3

Случайные величины X,Y распределены погеометрическому закону. Найдите дисперсию D(X-Y), если их математическиеожидания равны 5, а коэффициент корреляции X и Y равен 0,3.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь – свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Искомую дисперсию можно найти по формуле:

100task.ru

Так как величины распределены погеометрическому закону, то математическое ожидание:

100task.ru

Дисперсия случайной величины 100task.ru:

100task.ru

Аналогично дисперсия случайной величины 100task.ru:

100task.ru

Искомая дисперсия:

100task.ru

Ответ: 100task.ru

Пример 4

На плоскости начерчены два квадрата, стороныкоторых 20 и 60 соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большогоквадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока непопадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина X – число бросаний. Найдитематематическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение

Вероятность попасть в маленький квадрат:

100task.ru

Вероятность попасть с 1-й попытки:

100task.ru

Вероятность попасть со 2-й попытки:

100task.ru

Вероятность попасть с 3-й попытки:

100task.ru

……

Вероятность попасть с m-й попытки:

100task.ru

Общее число попыток подчинено законугеометрического распределения.

100task.ru

В нашем случае

100task.ru

Математическое ожидание в этом случае:

100task.ru

Дисперсия:

100task.ru

Ответ: 100task.ru

Моменты

Производящая функция моментов геометрического распределения имеет вид:

{displaystyle M_{Y}(t)={frac {p}{1-qe^{t}}}},

откуда

{displaystyle mathbb {E} [Y]={frac {q}{p}}},{displaystyle mathrm {D} [Y]={frac {q}{p^{2}}}}.

4.Закон распределения Пуассона.

     

   Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид:

Закон распределения Пуассона

где

   λ = np = const
   n – число испытаний, стремящиеся к бесконечности
   p – вероятность наступления события, стремящаяся к нулю
   m – число появлений события А

   Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B – 0,06 и C – 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей.

   Из условия имеем: m=100, λ1=8, λ2=6, λ3=4 ( ≤10 )

   

Пример распределения Пуассона

(таблица дана не полностью)

График распределения Пуассона
Рис.4  

   Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4)

   

   Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.

      Репетиторы на www.mathtask.ru    

Связь с другими распределениями

  • Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиального распределения: {displaystyle mathrm {Geom} (p)equiv mathrm {NB} (1,p)}.
  • Если {displaystyle Y_{1},ldots ,Y_{n}} независимы и {displaystyle Y_{i}sim mathrm {Geom} (p),;i=1,ldots ,n}, то

{displaystyle sum limits _{i=1}^{n}Y_{i}sim mathrm {NB} (n,p)}.

Пример

Пусть игральная кость вбрасывается до выпадания первой «шестёрки». Тогда вероятность, что нам потребуется не больше трёх вбросов равна:

{displaystyle mathbb {P} (Yleq 2)=mathbb {P} (Y=0)+mathbb {P} (Y=1)+mathbb {P} (Y=2)=left({frac {5}{6}}right)^{0}left({frac {1}{6}}right)+left({frac {5}{6}}right)^{1}left({frac {1}{6}}right)+left({frac {5}{6}}right)^{2}left({frac {1}{6}}right)approx 42%}.

Ожидаемое число вбросов равно:

{displaystyle mathbb {E} [Y]+1={frac {5/6}{1/6}}+1=6}.

Ссылки

modif.png Эта страница в последний раз была отредактирована 30 сентября 2021 в 17:17.

Как только страница обновилась в Википедии она обновляется в Вики 2.
Обычно почти сразу, изредка в течении часа.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...