Функция ВЕРОЯТНОСТЬ для расчета вероятности событий в Excel

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает вероятность того, что значения в диапазоне находятся между двумя границами. Если верхний_предел не задан, то возвращается вероятность того, что значения в аргументе x_интервал равняются значению аргумента нижний_предел.

Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel

Стоит отметить, что используются часто в Excel и другие статистические функции, к примеру:

  • ДИСП;
  • ГИПЕРГЕОМ.РАСП;
  • СРЗНАЧ и другие.

Функция выполняет вычисление вероятности того, что значения с интервала находятся в заданных пределах. В случае, если верхний предел не будет задан, то будет возвращена вероятность того, что значения аргумента x_интервал будет равно значению аргумента под названием нижний_предел.



Вычисление процента вероятности события в Excel

Пример 1. Дана таблица диапазона числовых значений, а также вероятностей, которые им соответствуют:

таблица диапазона числовых значений.

Необходимо при использовании данной статистической функции вычислить вероятность события, что значение с указанного интервала входит в интервал [1;4].

Для этого введем функцию со следующими аргументами:

ВЕРОЯТНОСТЬ"."

тут:

  • х_интервал – это начальные данные (0, …, 4);
  • интервал вероятностей является множеством вероятностей для начальных данных (0,15; 0,1; 0,15; 0,2; 0,4);
  • нижний предел равен значению 1;
  • верхний предел равен 4.

В результате выполненных вычислений получим:

В результате.

Пример 2. В условии предыдущего примера нужно вычислить вероятность события «значение х равно 4».

Введем в ячейку С3 введем функцию с такими аргументами:

введем функцию.

тут:

  • х_интервал – начальные параметры (0, …, 4);
  • интервал вероятностей – совокупность вероятностей для параметров (0,1; 0,15; 0,2; 0,15; 0,4);
  • нижний предел – 4;

В данном примере верхний предел не указан, поскольку необходимо конкретное значение вероятности, а именно для значения 4.

Получим:

верхний предел не указан.

Описание

Возвращает вероятность того, что значение из интервала находится внутри заданных пределов. Если верхний_предел не задан, то возвращается вероятность того, что значения в аргументе x_интервал равняются значению аргумента нижний_предел.

Комбинаторика и вероятность

Ниже вы найдете основные формулы Excel, которые могут применяться при решении вероятностных задач и задач по комбинаторике.

ЧИСЛКОМБ / COMBIN

Возвращает количество сочетаний без повторений.

ФАКТР / FACT

Вычисляет факториал числа.

СЛЧИС / RAND

Выдает случайное число в интервале от 0 до 1 (равномерно распределенное).

СЛУЧМЕЖДУ / RANDBETVEEN

Выдает случайное число в заданном интервале.

БИНОМРАСП / BINOMDIST

Вычисляет отдельное значение биномиального распределения.

ГИПЕРГЕОМЕТ / HYRGEOMDIST

Определяет гипергеометрическое распределение.

НОРМРАСП / NORMDIST

Вычисляет значение нормальной функции распределения.

НОРМОБР / NORMINV

Выдает обратное нормальное распределение.

НОРМСТРАСП / NORMSDIST

Выдает стандартное нормальное интегральное распределение.

НОРМСТОБР / NORMSINV

Выдает обратное значение стандартного нормального распределения.

ПЕРЕСТ / PERMUT

Находит количество размещений без повторений

ВЕРОЯТНОСТЬ / PROB

Определяет вероятность того, что значение из диапазона находится внутри заданных пределов.

Подробнее: Формулы комбинаторики в Excel.

Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей

Дискретные распределения

Если случайная величина может принимать только определенные значения и количество таких значений конечно, то соответствующее распределение называется дискретным . Например, при бросании монеты, имеется только 2 элементарных исхода, и, соответственно, случайная величина может принимать только 2 значения. Например, 0 (выпала решка) и 1 (не выпала решка) (см. схему Бернулли ). Если монета симметричная, то вероятность каждого исхода равна 1/2. При бросании кубика случайная величина принимает значения от 1 до 6. Вероятность каждого исхода равна 1/6. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1.

Примечание : В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности дискретных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

1 Биномиальное распределение

Представляет собой распределение вероятностей числа наступленийнекоторого события («удачи») в nповторныхнезависимых испытаниях, если при каждом испытании вероятность наступления этогособытия равна p. При этомраспределении разброс вариант (есть или нет события) является следствиемвлияния ряда независимых и случайных факторов.

 Примером практического использования биномиального распределенияможет являться контроль качества партии фармакологического препарата. Здесьтребу­ется подсчитать число изделий (упаковок), не соответствующих требованиям.Все причины, влияющие на качество препарата, принимаются одинаково вероятными ине зависящими друг от друга. Сплошная проверка качества в этой ситуации невозможна, поскольку изделие, прошедшее испытание, не подлежит дальнейшемуиспользованию. Поэтому для контроля из партии наудачу выбирают определенноеколичество образцов изделий (n). Эти образцы всестороннеепроверяют и регистрируют число бракованных изделий (k). Теоретически числобракованных изделий может быть любым, от 0 до n.

В Excel функция БИНОМРАСПприменяется для вычисления вероятности в задачах с фиксированным числом тестовили испытаний, когда результатом любого испытания может быть только успех илинеудача.

Функция использует следующиепараметры:

БИНОМРАСП (число_успехов;число_испытаний; вероятностъ_успеха; интегральная), где

число_успехов — это количество успешныхиспытаний;

число_испытаний — это число независимыхиспытаний (число успехов и число испытаний должны быть целыми числами);

вероятность_ успеха — это вероятность успехакаждого испытания;

интегральный — это логическое значение,определяющее форму функции.

Если данный параметр имеетзначение ИСТИНА (=1), то считается интегральная функция распределения(вероятность того, что число успешных испытаний не менее значения число_успехов);

если этот параметр имеетзначение ЛОЖЬ (=0), то вычисляется значение функ­ции плотностираспределения (вероятность того, что число успешных испытаний в точности равнозначению аргумента число_ успехов).

Пример 1. Какова вероятность того,что трое из четырех новорож­денных будут мальчиками?    

Решение:

1.   Устанавливаем табличный курсор в свободнуюячейку, например в А1. Здесь должно оказаться значение искомойвероятности.

2.   Для получения значения вероятностивоспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставкафункции (fx).

3.   В появившемся диалоговом окне Мастерфункций – шаг 1 из 2 слева в поле Катего­рия указаны виды функций.Выбираем Статистическая. Справа в поле Функция выбираем функцию БИНОМРАСПи нажимаем на кнопку ОК.

Появляется диалоговое окнофункции. В поле Число_s вводим с клавиатурыколичество успешных испытаний (3). В поле Испытания вво­дим с клавиатурыобщее количество испытаний (4). В рабочее поле Вероятность_sвводим с клавиатуры вероятность успеха в отдельном испытании (0,5). В поле Интегральныйвводим с клавиатуры вид функции распределения — интегральная или весовая (0).Нажимаем на кнопку ОК.

В ячейке А1 появляетсяискомое значение вероятности р = 0,25. Ровно 3 мальчика из 4новорожденных могут появиться с вероят­ностью 0,25.

Если изменить формулировкуусловия задачи и выяснить вероятность того, что появится не более трехмальчиков, то в этом случае в рабочее поле Интегральный вводим 1 (видфункции распределения интегральный). Вероятность этого события будет равна0,9375.

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График плотности нормального распределения

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

Различные вероятности у нормально распределенных данных

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Функция Гаусса

Формула состоит из двух математических констант:

π – число пи 3,142;

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

σ2 – дисперсия;

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ2). Кратко обозначается N(m, σ2) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

Влияние матожидания на нормальное распределение

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Влияние сигмы на нормальное распределение

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:

Функция нормального распределения
Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как

P(a ≤ X < b) = Ф(b) – Ф(a)

Задания для самостоятельной работы

1. Какова вероятность того, что восемь из десяти студентов,сдающих зачет, получат «незачет». (0,04)

Справочный файл по формулам Excel

Нужна шпаргалка по функциям Excel под рукой? Скачивайте файл: Математические и статистические формулы Excel

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные

Значение x

Вероятность

0,2

1

0,3

2

0,1

3

0,4

Формула

Описание

Результат

=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;2)

Вероятность того, что x является числом 2.

0,1

=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;1;3)

Вероятность того, что x находится в интервале от 1 до 3.

0,8

Нужна дополнительная помощь?

Полезные ссылки

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике:

Задание длясамостоятельной работы

1.      Сформироватьвыборку из 10 случайных чисел, лежащих в диапазоне от 0 до 1.

2.      Сформироватьвыборку из 20 случайных чисел, лежащих в диапазоне от 5 до 20.

3.      Пустьспортсмену необходимо составить график тренировок на 10 дней, так чтобыдистанция, пробегаемая каждый день, случайным образом менялась от 5 до 10 км.

4.      Составитьрасписание внеклассных мероприятий на неделю для случайного проведения:семинаров, интеллектуальных игр, КВН и спец. курса.

5.      Составитьрасписание на месяц для случайной демонстрации на телевидении одного из четырехрекламных роликов турфирмы. Причем вероятность появления рекламного ролика №1должна быть в два раза выше, чем остальных рекламных роликов.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...