Число размещений с повторениями: формула и онлайн калькулятор

Число размещений с повторениями – простой и понятный онлайн калькулятор, плюс немного теории.

Примеры решений

Рассмотрим типичные задачи на эту комбинаторную формулу.

Пример 1. В лифт 8-этажного дома вошли 4 пассажира. Сколькими способами они могут выйти (выход возможен на любом этаже, начиная со второго).

Решение. Сначала порассуждаем. Рассмотрим пассажира, у него есть 7 способов выбрать этаж для выхода (2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8). И так поступает каждый из пассажиров, поэтому способов выхода $N=7 cdot 7 cdot 7 cdot 7 =7^4=2401$.

Или иначе, с помощью формулы: считаем, что у нас есть $n=7$ этажей и на них нужно разместить произвольно $k=4$ пассажиров, то по формуле размещений с повторениями $N=overline{A}_7^4= 7^4=2401$.

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр?

Решение. Пусть у нас есть $n=5$ нечетных цифр (1, 2, 3, 4, 5). Их нужно расставить на $k=3$ места (так как число трехзначное: единицы, десятки, сотни). По формуле размещений с повторениями $N=overline{A}_5^3= 5^3=125$ чисел.

Онлайн калькулятор

Общее число объектов

n =

Длина одного размещения

k =

Число размещений:

Просто введите общее число объектов (n) и длину одного размещения (k).

Импортировать данныеОшибка импорта

Загрузить данные из csv файла

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Примеры комбинаторных объектов[править]

Битовые векторы[править]

Определение:
Битовые векторы (англ. bit vectors) — последовательность нулей и единиц заданной длины.

Перестановки[править]

Определение:
Перестановки[1] (англ. permutations) — упорядоченный набор чисел [math]1, 2,ldots, n[/math], обычно трактуемый как биекция на множестве [math]{ 1, 2,ldots, n }[/math], которая числу [math]i[/math] ставит соответствие [math]i[/math]-й элемент из набора.

Примером перестановки может служить задача о рассадке [math]n[/math] человек за стол по [math]n[/math] местам.

Перестановки с повторениями[править]

Определение:
Перестановки с повторениями (англ. permutations with repetitions) — те же перестановки, однако некоторые элементы могут встречаться несколько раз.

В пример можно привести следующую задачу: имеется набор книг [math]{a_1, a_2, ldots, a_n}[/math], каждая из которых имеется в [math]k_1, k_2, ldots, k_n[/math] экземплярах соответственно. Сколько существует способов переставить книги на полке?

Размещения[править]

Определение:
Размещение[2] (англ. arrangement) из [math]n[/math] по [math]k[/math] — упорядоченный набор из [math]k[/math] различных элементов некоторого [math]n[/math]-элементного множества.

Примером размещения может служить задача о рассадке [math]k[/math] человек за стол по [math]n[/math] местам, где [math]n gt k[/math].

Размещения с повторениями[править]

Определение:
Размещение с повторениями (англ. arrangement with repetitions), составленное из данных [math]n[/math] элементов по [math]k[/math] — отображение множества [math]k[/math] первых натуральных чисел [math]1, 2, ldots, k[/math] в данное множество [math]{a_1, a_2, ldots, a_n}[/math].

В пример можно привести следующую задачу: имеется [math]n[/math] книг, каждая в [math]k[/math] экземплярах. Сколькими способами может быть сделан выбор книг из числа данных?

Сочетания[править]

Определение:
Сочетания[3] (англ. combinations) из [math]n[/math] по [math]k[/math] — набор [math]k[/math] элементов, выбранных из данных [math]n[/math] элементов.

Примером сочетания может служить задача о выборе [math]k[/math] книг из [math]n[/math] вариантов.

Сочетания с повторениями[править]

Определение:
Сочетания с повторениями (англ. combinations with repetitions) — те же сочетания, только теперь даны [math]n[/math] типов элементов, из которых нужно выбрать [math]k[/math] элементов, причем элементов каждого типа неограниченное количество, и элементы одного типа должны стоять подряд друг за другом.

В пример можно привести следующую задачу: имеется [math]n[/math] пирожных. Сколько способов купить [math]k[/math] пирожных?

Разбиение на неупорядоченные слагаемые[править]

Разбиение на подмножества[править]

Определение:
Разбиение множества [math]X[/math] на подмножества (англ. partition of a set) — семейство непустых множеств [math]{U_{alpha}},{alpha in A}[/math], где [math]A[/math] — некоторое множество индексов, если:
  1. [math]U_{alpha} cap U_{beta} = emptyset[/math] для любых [math]alpha, beta in A[/math], таких что [math]alpha not= beta[/math];
  2. [math]X = bigcuplimits_{alpha in A} U_{alpha}[/math].

Правила суммы и произведения

Правило суммы: если элемент a можно выбратьm различными способами и независимо от него элементb можно выбрать n различными способами, товыбрать все различные комбинации элементов «a илиb» можно сделать m + n способами.

Правило произведения: если элемент a можновыбрать m различными способами и независимо от него элементb можно выбрать n различными способами, товсе различные комбинации элементов «a иb» можно выбрать m cdot n способами.

Правила суммы и произведения естественным образом обобщаются и наслучай комбинаций многих элементов, а именно, если первый элементсовокупности из k различных элементов можно выбрать n_1 способами, второй — n_2 способами и так далее,k-й элемент — n_k способами, товсевозможных комбинаций соответственно n_1  + n_2  +  ldots  + n_k и n_1  cdot n_2  cdot  ldots  cdot n_k.

Факториал

Произведение n первых натуральных чисел называетсяn-факториал и обозначается n!; По определению: 1! = 1;  0! = 1.

Число комбинаторных объектов[править]

Тип объекта Число объектов
Битовые векторы [math]2^{n}[/math]
Перестановки [math]P_n = n![/math]
Перестановки с повторениями [math]frac{(k_1 + k_2 + ldots + k_n)!}{k_1!k_2!ldots k_n!}[/math]
Размещения [math]A^{k}_n = frac{n!}{(n – k)!}[/math]
Размещения с повторениями [math]n^k[/math]
Сочетания [math]C^{k}_n = frac{n!}{k!(n – k)!}[/math]
Сочетания с повторениями [math]widetilde{C}^k_n = frac{(n + k – 1)!}{k!(n – 1)!} = C^k_{n + k – 1}[/math]
Разбиение на неупорядоченные слагаемые Нахождение количества разбиений числа на слагаемые
Разбиение на подмножества Числа Стирлинга второго порядка

Видеоролик о размещениях с повторениями

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы размещений: как использовать Excel для нахождения числа размещений с повторениями, как решать типовые задачи.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Разбиение множества на группы

Пусть множество из 100task.ru различных элементов разбивается на 100task.ru групп так, то в первую группу попадают 100task.ru элементов, во вторую – 100task.ru элементов, в 100task.ru-югруппу – 100task.ru элементов, причем 100task.ru.Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.

Число разбиений на 100task.ru групп, когда в первую попадают 100task.ru элементов, во вторую – 100task.ru элементов, в k-ю группу – 100task.ru элементов, равно:

100task.ru

Пример 8

Группу из 16 человектребуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек,во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можносделать?

Решение

Здесь 100task.ru

Число разбиений на 3 подгруппы:

100task.ru

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...