Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

Числовой последовательностью называют ряд чисел, полученных по некоторому правилу или формуле.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной. 

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность? 

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

  • для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
  • это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
  • для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N. 

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Основные понятия и определения

Определение

Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел $N$ в некоторое множество $X$ : $left{x_{n}right}=left{x_{n}right}_{n=1}^{infty}=left{x_{1} ; x_{2} ; ldots ; x_{n} ; ldotsright}, x_{i} in N$

Элемент $x_{1}$ называется первым членомпоследовательности, $x_{2}$ – вторым, … , $x_{n}$ – $n$-ым или общим членом последовательности.

Пример

Задание. Для последовательности $x_{n}={-1 ; 2 ; 5 ; 8 ;-3 ; 0 ; ldots}$ определить, чему равен третий член $x_{3}$

Решение. Третьим элементом последовательности будет элемент, идущий третьим по счету, то есть для заданной последовательности имеем, что $x_{3}=5$

Ответ. $x_{3}=5$

Возрастающие и убывающие последовательности

Определение 3. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) больше предыдующего, называется возрастающей:

Определение 4. Последовательность, в которой каждый последующий член (кроме первого) меньше предыдующего, называется убывающей:

Возрастающие и убывающие последовательности называются также монотонными последовательностями.

Пример 1. Выяснить, монотонна ли последовательность

Решение. Запишем n+1 член последовательности (подставим вместо n, n+1):

Найдем разность членов и :

или

Так как n=1,2,3,… то правая часть уравнения (3) положительна. Тогда:

или

Таким образом, каждый последующий член последовательности больше предыдующего. Следовательно последовательность является возрастающим (и монотонным).

Пример 2. Выяснить, при каких значениях a последовательность (bn) является возрастающей и при каких, убывающей:

Решение. Запишем n+1 член последовательности (вместо n подставим n+1):

Найдем разность членов и :

или

Посмотрим на правую часть выражения (4). Если a<10, то . Тогда последовательность является возрастающей. Если a>10, то . Тогда последовательность является убывающей. При a=10 . Последовательность имеет одинаковые члены:

т.е. имеем дело с последовательностью

Очевидно, что последовательность (5) не является монотонной. Она является стационарной последовательностью.

Понятие числовой последовательности

Попытаемся записать в ряд все четные числа, начиная с двойки:

2, 4, 6, 8, 10, 12

Ясно, что запись можно продолжать бесконечно. Мы получили некоторый ряд чисел, в данном случае бесконечный. Любой такой ряд называется бесконечной числовой последовательностью

1dgfg

Приведем примеры бесконечных числовых послед-тей:

2hgfhf

Заметим, что числа в послед-ти могут повторяться. Так, известно, что число π – это бесконечная десятичная дробь 3,1415926… Выписывая в ряд эти цифры, можно получить послед-ть, в которой будут повторяющиеся числа:

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6

Числа, входящие в состав послед-ти, называют членами послед-ти. Всегда можно указать, какое число является первым членом послед-ти, какое – вторым и т. д. Для их обозначения используются буквы с индексами. Например, есть послед-ть четных чисел 2, 4, 6, 8… Выпишем первые ее члены, обозначая их буквой а:

3gfghf

Получается, что каждому натуральному числу n соответствует какой-то единственный член послед-ти, который обозначается как аn. То есть послед-ть задает некое правило, с помощью которого для каждого числа n можно вычислить число an. Отсюда можно сформулировать более сложное определение бесконечной числовой послед-ти – это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел.

4 beskonechnaja chislovaja posledovatelnost

Какие бывают последовательности

Различают:

  • постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1… 
  • возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
  • убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:


Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности:

На координатной прямой изобразим члены этих последовательностей:

Как можно заметить из рисунков Рис.1 и Рис.2, члены последовательности , при увеличении n, постепенно приближаются к некоторой точке (в данном случае к точке O), а для последовательности такое не наблюдается. Говорят, что последовательность сходится, а полседовательность расходится.

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

  1. Аналитически или, проще говоря, формулой.
  2. Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
  3. Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел. 

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

  1. Последовательность может иметь только один предел.
  2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
  3. Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
  4. Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
  5. Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
  6. Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
  7. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
  8. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей. 
  9. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
  10. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором. 

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Последовательности в жизни

Порою, изучая математические объекты, люди задумываются – а какое отношение все эти формулы имеют к реальной жизни? Встречаются ли последовательности в природе и обществе, или они являются лишь плодом фантазии математиков?

На самом деле последовательности имеют большое практическое приложение. Так, Фибоначчи сформулировал свою последовательность тогда, когда изучал скорость размножения кроликов. Если каждая пара кроликов рожает в месяц ещё одну пару, а через месяц и старая, и новая пара рожает ещё кроликов, то их численность будет расти также, как и последовательность Фибоначчи! Аналогично протекают процессы роста популяций других животных.

Большое значение последовательности имеют в программировании. Дело в том, что порою программам нужно получить некоторое случайное число, чтобы имитировать случайные события. Однако по ряду причин компьютеру тяжело сгенерировать истинно случайное число, поэтому часто используют генераторы псевдослучайных чисел. Это особые алгоритмы, порождающие последовательности чисел, которые кажутся случайными, хотя таковыми на самом деле не являются.

Встречаются последовательности и в астрономии. В частности, расстояние от планет до Солнца примерно можно рассчитать с помощью особой последовательности Тициуса-Боде. Последние исследования показывают, что и расположение планет в других планетных системах хорошо описывается этой последовательностью.

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.

Пусть дано: формулаформула

Нужно доказать: формула

Как доказываем:

  1. Формула формула №1 верна при n = 1.

    Действительно, формула №2

  2. Предположим, что формула формула №3 верна при n = k, то есть формула №4
  3. Докажем, что формула формула №5 верна и при n = k + 1, то есть формула №6
  4. Из условия формула №7 и предположения Предположение получаем: формула №8

    Согласно принципу математической индукции формула формула №9 верна для любого натурального числа.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...